Determinants

Determinants d'ordre \(2\)

Anomenem determinant d'una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\), d'ordre \(2\), al nombre obtingut de la manera següent:

\( \left| \boldsymbol{A} \right| = \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right| = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \)

Per a calcular un determinant d'ordre \(2\), associat a una matriu quadrada d'ordre \(2\), es multipliquen els elements de la diagonal principal i es resta el producte dels elements de la diagonal secundària.

Determinants d'ordre \(3\)

Sigui \(\boldsymbol{A}\) una matriu quadrada d'ordre \(3\). El seu determinant és un nombre que s'obté de la següent manera:

\( \hspace{4.5 em} \phantom{\left| \boldsymbol{A} \right|} = \) \( a_{11}a_{22}a_{33} \) \( + \) \( a_{12}a_{23}a_{31} \) \( + \) \( a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - \) \( a_{13}a_{22}a_{31} \) \( - \) \( a_{11}a_{23}a_{32} \) \( - \) \( a_{12}a_{21}a_{33} \)

Per memoritzar aquesta expressió es pot fer servir la regla de Sarrus. Aquesta regla rep el seu nom del matemàtic francès Pierre Frédéric Sarrus que la va enunciar per primera vegada el \(1833\). És un mètode senzill, però que només serveix per a matrius quadrades \(3 \times 3 \).

En primer lloc, es tornen a escriure les dues primeres columnes de la matriu a la dreta de la mateixa de manera que quedin cinc columnes en fila. Després es sumen els productes de les diagonals paral·leles a la principal i es resten els productes de les diagonals paral·leles a la secundària. Això resulta en:

\( \hspace{4.5 em} \phantom{\left| \boldsymbol{A} \right|} = \) \( a_{11}a_{22}a_{33} \) \( + \) \( a_{12}a_{23}a_{31} \) \( + \) \( a_{13}a_{21}a_{32} \) \( - \) \( a_{13}a_{22}a_{31} \) \( - \) \( a_{11}a_{23}a_{32} \) \( - \) \( a_{12}a_{21}a_{33} \)

Amb la pràctica, el que s'acaba fent és memoritzar el següent dibuix, que indica quins elements s'han de multiplicar, i si s'ha de canviar el signe al producte.

Determinants d'ordre \(\boldsymbol{n}\)

Els determinants són nombres associats a matrius quadrades. El seu resultat és la suma de \(n!\) termes, cada un d'ells format per un producte de \(n\) elements de la matriu, de manera que n'hi hagi un, i només un, de cada fila i de cada columna. A més la meitat d'aquests factors tenen associat un canvi de signe.

Per exemple, si \(n=4\) el determinant es calcula a partir de \(24\) productes, cada un d'ells format per \(4\) factors, i \(12\) d'ells amb un canvi de signe.

Aquest mètode és aplicable fins a matrius d’ordre \(3\). Per ordres superiors no és còmode.

El cas més senzill és el determinat d'ordre \(1\). El resultat és simplement l'únic element de la matriu:

\( \boldsymbol{A}=(a_{11}) \quad \Rightarrow \quad |\boldsymbol{A}|=a_{11} \)

És important no confondre-ho amb el valor absolut.

Matrius regulars i singulars

Si \( |\boldsymbol{A}| = 0 \), les files o columnes són linealment dependents, hi ha alguna combinació lineal entre files o entre columnes. Una matriu amb determinat zero s’anomena matriu singular.

Si \( |\boldsymbol{A}| \ne 0 \), les files o columnes són linealment independents, no hi ha cap combinació lineal entre files ni entre columnes. Una matriu amb determinat diferent de zero s’anomena matriu regular o no singular.