Donades dues matrius \( \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n \times m} \) i \( \boldsymbol{A}=(b_{ij})_{n \times m} \) de la mateixa dimensió, anomenem suma de \( \boldsymbol{A} \) i \( \boldsymbol{B} \) a la matriu de la mateixa dimensió que s'obté sumant cada element de \( \boldsymbol{A} \) amb el correspondent element de \( \boldsymbol{B} \):
\( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} = (a_{ij}+b_{ij})_{n \times m} \)
Dues matrius de la mateixa dimensió s’anomenen conformes respecte a la suma. Dues matrius de diferent dimensió no es poden sumar.
Es pot comprovar que la suma de matrius de dimensió \(n \times m \) verifica les propietats següents:
L'existència d'element simètric permet definir la resta de matrius:
\( \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{B}) \)
Exercici 5
Siguin les matrius \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 5 \\ 4 & -3 \end{array} \right) \) i \( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 3 & 7 \\ -2 & 1 \end{array} \right) \):
Donat un nombre real \(k\) i una matriu \( \boldsymbol{A}=(a_{ij}) \) de dimensió \( n \times m \), definim el producte de \(k\) per \( \boldsymbol{A} \) com una matriu de la mateixa dimensió que s'obté multiplicant cadascun dels elements de la matriu \(\boldsymbol{A}\) pel nombre \(k\).
\( k\boldsymbol{A} = (ka_{ij}) \)
Com a cas particular s'obté que \( (-1)\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A} \) per a qualsevol matriu \(\boldsymbol{A}\).
Al producte d'un nombre per una matriu també se'l coneix com a producte d'un escalar per una matriu.
Les propietats fonamentals d'aquest producte i les d'aquest producte en relació amb la suma de matrius, són les següents:
Exercici 6
Siguin les matrius \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 3 & -1 \\ 2 & 0 \\ 5 & -4 \end{array} \right) \) i \( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{array} \right) \). Calcula \( 3\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B} \)
Per poder fer la multiplicació de dues matrius és condició indispensable que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al nombre de files de la segona. Per tant no totes les multiplicacions de matrius es poden fer. En cas que sigui possible, el resultat serà una altra matriu que tindrà tantes files com la primera matriu i tantes columnes com la segona.
\( \begin{array}{ccccc} \boldsymbol{A} & \cdot & \boldsymbol{B} & = & \boldsymbol{A}·\boldsymbol{B} \\&&&&\\ m \times n & & n \times p & & m \times p \end{array} \)
Els seus elements es troben de la següent manera: l'element que es troba a la fila \(i\) i columna \(j\) es calcula multiplicant els elements de la fila \(i\) de la matriu \(\boldsymbol{A}\) pels de la columna \(j\) de la matriu \(\boldsymbol{A}\) i sumant els resultats.
\( \displaystyle c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{in} b_{nj}\)
Exemple
Siguin les matrius \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) següents:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 8&5&4 \\ 2&1&-3 \end{array} \right) \quad\quad\quad\quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} -1&2 \\ -5&6\\ 0&1 \end{array} \right) \)
La matriu \(\boldsymbol{A}\) té \(3\) columnes i la matriu \(\boldsymbol{B}\) té \(3\) files. Per tant es poden multiplicar. El producte serà una matriu de dimensió \(2 \times 2\). Els seus elements s'obtenen de la següent manera:
\( \quad \quad \quad c_{12} = a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + a_{13} b_{32} = 8·2+5·6+4·1=50 \)
\( \quad \quad \quad c_{22} = a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} + a_{23} b_{32} = 2·2+1·6+(-3)·1=7 \)
Exercici 7
Donades les matrius:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&3 \\ 2&5 \end{array} \right) \quad \) i \( \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 2&1 \\ 4&0 \end{array} \right) \),
calcula, si és possible, les matrius \(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\) i \(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}\)
Exercici 8
Donades les matrius:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&3&6 \end{array} \right) \quad \) i \( \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) \),
calcula, si és possible, les matrius \(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\) i \(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}\)
Exercici 9
Donades les matrius:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&2&-1 \\ 3&0&1 \end{array} \right) \quad \) i \( \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrr} 0&1&-1 \\ 5&-1&2 \\ 1&2&3 \end{array} \right) \),
calcula, si és possible, les matrius \(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\) i \(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}\)
Exercici 10
Donades les matrius:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 2&1&3 \\ 0&2&1 \end{array} \right) \quad \) i \( \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 2 \\ -4 \end{array} \right) \),
calcula, si és possible, el producte \( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} \).
Les propietats del producte de matrius, sempre que les operacions siguin possibles, són les següents:
Associativa:
\( \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C} \)
Distributiva respecte de la suma de matrius:
\( \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C} \)
\( (\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\cdot\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A} \)
\( \boldsymbol{A}·\boldsymbol{I}_n = \boldsymbol{I}_m·\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} \)
El producte de matrius no és commutatiu. De vegades pot passar que un dels productes està definit i l'altre no; o estan definits els dos, però són de diferent dimensió i no es poden comparar. Però fins i tot quan els dos productes estan definits i són de la mateixa dimensió, els dos productes poden ser diferents.
\( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} \ne \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A} \)
De vegades, però, un parell de matrius quadrades poden verificar excepcionalment la propietat commutativa. En aquest cas direm que les matrius commuten.
El producte de dues matrius no nul·les \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) pot donar una matriu nul·la. Es diu que el conjunt de las matrius amb la operació producte té divisors de cero.
\( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = \boldsymbol{0} \quad\cancel{\Rightarrow}\quad \boldsymbol{A}=\boldsymbol{0} \lor \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} \)
Una conseqüència d'això és que el producte de matrius en general no és simplificable.
\( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C} \quad\cancel{\Rightarrow}\quad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C} \)
Exercici 11
Donades les matrius:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&3&-1 \\ 2&5&0 \end{array} \right) \quad \) i \( \quad \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 0&1 \\ -2&0 \\ 1&4 \end{array} \right) \),
calcula, si és possible, les matrius \( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} \) i \( \boldsymbol{B}^\mathsf{T}\cdot\boldsymbol{A}^\mathsf{T} \)
La potència enèsima d'una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) és un producte de \(n\) factors tots ells iguals a \(\boldsymbol{A}\):
\( \boldsymbol{A}^n = \boldsymbol{A} \cdot \overset{(n)}{\ldots} \cdot \boldsymbol{A} \)
Exercici 12
Donada la matriu:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \)
calcula \( \boldsymbol{A}^n \)
Les següents propietats relacionen la transposició de matrius amb les operacions amb matrius:
És important resaltar el canvi d'ordre dels factors en la propietat del producte.