Una matriu quadrada d'ordre \(n\) és una matriu de dimensió \( n \times n \). És a dir una matriu on el nombre de files és igual al nombre de columnes \( (m=n) \).
Exemple
Les dues matrius següents són matrius quadrades. \(\boldsymbol{D}\) és d'ordre 2, i \(\boldsymbol{T}\) d'ordre 3:
\( \boldsymbol{D} = \left( \begin{array}{rr} 8&-1\\4&0 \end{array} \right) \quad\quad\quad\quad \boldsymbol{T} = \left( \begin{array}{rrr} -1&2&-3\\4&-5&6\\0&0&1 \end{array} \right) \)
Totes les definicions que venen a continuació en aquest apartat són relatives a matrius quadrades
S'anomena diagonal principal d'una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) al conjunt d'elements \(a_{ij}\) de la matriu que verifiquen que \(i=j\).
S'anomena diagonal secundària d'una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) al conjunt d'elements \(a_{ij}\) de la matriu que verifiquen que \(i+j=n+1\).
S'anomena traça d'una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) al nombre que resulta de la suma dels elements de la diagonal principal.
\( tr(\boldsymbol{A})= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11}+a_{22}+ \cdots +a_{nn} \)
Exemple
En la següent matriu els elements de la diagonal principal són de color blau i els de la secundària de color verd.
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} \color{blue}{1}&3&1&\color{green}{4} \\ 4&\color{blue}{2}&\color{green}{6}&9 \\ 0&\color{green}{1}&\color{blue}{3}&1 \\ \color{green}{2}&9&6&\color{blue}{9} \end{array} \right) \)
I la traça d'aquesta matriu és:
\( \text{tr}(\boldsymbol{A})=a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}=1+2+3+9=15\)
Es diu matriu triangular superior la matriu quadrada \(\boldsymbol{U}\) que verifica que els elements per sota de la diagonal principal són nuls. És a dir:
\( u_{ij}=0 \quad \forall i \gt j \)
Es diu matriu triangular inferior la matriu quadrada \(\boldsymbol{L}\) que verifica que els elements per sobre de la diagonal principal són nuls. És a dir:
\( l_{ij}=0 \quad \forall i \lt j \)
Es diu matriu diagonal la matriu quadrada \(\boldsymbol{D}\) que és a la vegada una matriu diagonal superior i inferior. Verifica que els elements per fora de la diagonal principal són nuls. És a dir:
\( d_{ij}=0 \quad \forall i \ne j \)
Es diu matriu escalar la matriu diagonal \(\boldsymbol{E}\) que verifica que els elements de la diagonal principal són iguals entre ells. És a dir:
\( e_{ij}=\left \lbrace \begin{array}{ccc} 0 & si & i \ne j \\ k & si & i = j \end{array} \right . \)
Es diu matriu identitat o matriu unitat la matriu escalar \(\boldsymbol{I}\) que verifica que els elements de la diagonal principal són tots 1. És a dir:
\( \delta_{ij}=\left \lbrace \begin{array}{ccc} 0 & si & i \ne j \\ 1 & si & i = j \end{array} \right . \)
Exemples
Les següents matrius d'ordre 3 són exemples dels casos anteriors:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&-3&7 \\ 0&1&-2 \\ 0&0&-4 \end{array} \right) \) és una matriu triangular superior.
\( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrr} 5&0&0 \\ -3&-1&0 \\ -1&2&6 \end{array} \right) \) és una matriu triangular inferior.
\( \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 4&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-7 \end{array} \right) \) és una matriu diagonal.
\( \boldsymbol{D} = \left( \begin{array}{rrr} 8&0&0 \\ 0&8&0 \\ 0&0&8 \end{array} \right) \) és una matriu escalar.
\( \boldsymbol{I} = \left( \begin{array}{rrr} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \) és la matriu identitat d'ordre 3.
Una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) es diu que és una matriu simètrica si coincideix amb la seva transposada, \( \boldsymbol{A}^\mathsf{T} = \boldsymbol{A} \), o el que és el mateix \(a_{ij} = a_{ji} \quad \forall i,j\). Els seus elements són simètrics respecte a la diagonal principal.
Una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) es diu que és una matriu antisimètrica si la seva oposada i la seva transposada són iguals, \( \boldsymbol{A}^\mathsf{T} = -\boldsymbol{A} \), o el que és el mateix \(a_{ij} = -a_{ji} \quad \forall i,j\). Els seus elements són antisimètrics respecte a la diagonal principal.
Exemples
La matriu següent és una matriu simètrica d'ordre 3:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&-3&7 \\ -3&1&-2 \\ 7&-2&-4 \end{array} \right) \)
La matriu següent és una matriu antisimètrica d'ordre 3:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&-1&-2 \\ 1&0&5 \\ 2&-5&0 \end{array} \right) \)
Exercici 3
Escriu una matriu quadrada d'ordre 4 que sigui alhora simètrica i antisimètrica. Hi ha moltes matrius que tinguin aquesta característica?
Exercici 4
Completa les següents matrius sabent que \(\boldsymbol{S}\) és una matriu simètrica i que \(\boldsymbol{A}\) una matriu antisimètrica.
\( \boldsymbol{S}= \left( \begin{array}{rrr} 1&·&7\\-1&-3&·\\·&4&5 \end{array} \right) \quad , \quad \boldsymbol{A}= \left( \begin{array}{rrr} 0&4&·\\·&0&-2\\1&·&0 \end{array} \right) \)
Propietats:
\( a_{ii} = -a_{ii} \quad \Rightarrow \quad a_{ii} = 0 \)