Matrius. Primeres definicions

Definició de matriu

Una matriu numèrica de dimensió \(m \times n\) és un conjunt de nombres reals disposats en \(m\) files i \(n\) columnes:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \)

Aquests nombres es diuen components o elements de la matriu.

Les matrius sempre es representen amb lletres majúscules i els seus elements amb minúscules, normalment amb la mateixa lletra que representa a la matriu, i amb dos subíndexs que indiquen la posició del nombre dins de la matriu. El primer subíndex indica la fila i el segon la columna.

Notes:

• Que una matriu sigui de dimensió \(m \times n\), es pot dir d'altres maneres diferents:
  1. Matriu de dimensió \(m \times n\)
  2. Matriu de dimensió \( (m,n) \)
  3. Matriu d'ordre \(m \times n\)
  4. Matriu d'ordre \( (m,n) \)
  5. Matriu de dimensions \(m \times n\)
  6. Matriu de dimensions \( (m,n) \)
  7. Matriu \(m \times n\)
• Una matriu també es pot representar de manera abreujada com \( \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m \times n} \), o també:

  \( \boldsymbol{A}=(a_{ij}) \quad i=1,...,m; \quad j=1,...,n \)

• De vegades, si les matrius tenen pocs elements, ens estalviarem els subíndexs i simplement farem servir lletres diferents.

  \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cc} a&b\\c&d\\e&f \end{array} \right) \; , \quad \boldsymbol{Q} = \left( \begin{array}{cc} r&s\\t&u \end{array} \right) \)

Igualtat de matrius

Dos matrius \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})\) i \(\boldsymbol{B}=(b_{ij})\) són iguals si tots els seus elements són iguals i estan col·locats de la mateixa manera.

\( \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \quad\Leftrightarrow\quad a_{ij}=b_{ij} \quad\forall i,j\)

Evidentment, perquè dos matrius siguin iguals han de tenir la mateixa dimensió.

Matriu fila i matriu columna

S'anomena matriu fila a tota matriu composta per una única fila i qualsevol nombre de columnes. La seva dimensió és \(1 \times n\).

S'anomena matriu columna a tota matriu composta per una única columna i qualsevol nombre de files. La seva dimensió és \(m \times 1\).

Matriu nul·la

S'anomena matriu nul·la o matriu zero a tota matriu composta únicament per zeros. Poden ser de qualsevol dimensió.

Matriu oposada i matriu transposada

La matriu oposada d'una matriu és una altra matriu de la mateixa dimensió que s'obté canviant cadascun dels elements pel seu oposat. Una matriu \(\boldsymbol{A}\) té una i només una matriu oposada, que s'indica per \(-\boldsymbol{A}\).

\( \boldsymbol{A} = (a_{ij}) \quad\Rightarrow\quad -\boldsymbol{A} = (-a_{ij})\)

La matriu transposada d'una matriu és una altra matriu que s'obté intercanviant les files per les columnes. Una matriu \(\boldsymbol{A}\), de dimensió \( m \times n \), té una i només una matriu transposada, que s'indica per \(\boldsymbol{A}^\mathsf{T}\)i és de dimensió \( n \times m \).

\( \boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{A}^\mathsf{T} = (a_{ji})_{n \times m} \)

Relacionades amb les matrius oposades i transposades tenim tres propietats trivials:

• \( -(-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{A} \)
• \( (\boldsymbol{A}^\mathsf{T})^\mathsf{T} = \boldsymbol{A} \)
• \(-(\boldsymbol{A}^\mathsf{T}) = (-\boldsymbol{A})^\mathsf{T} \)

Nota:

Hi ha diferents notacions per la matriu transposada:

• \( \boldsymbol{A}^\mathsf{T} \)
• \( \boldsymbol{A}^t \)
• \( ^t \boldsymbol{A} \)