La integral definida

La integral definida

Sigui una funció \(f(x)\) definida en un interval \(\left[ a,b \right] \), on \(a\) i \(b\) s'anomenen límits d'integració. Es defineix integral definida de \(f(x)\) en \(\left[ a,b \right] \) com el límit de les sumes de Riemann quan la longitud dels subintervals tendeix a \(0\).

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{l \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right) \quad\quad\text{amb} \quad l=\sup \left\lbrace \Delta x_i \right\rbrace \)

Observacions:

Propietats de la integral definida

Relació entre integral definida i àrea

Si \(f(x)\) és una funció definida a l'interval \(\left[ a,b \right] \) i no negativa, aleshores \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \) coincideix amb l'àrea sota la funció \(f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\).

\( A = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)

Si \(f(x)\) és una funció definida a l'interval \(\left[ a,b \right] \) i no positiva, aleshores \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \) és una quantitat negativa i el seu valor absolut coincideix amb l'àrea sota la funció \(f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\).

\(\displaystyle A = \left\lvert \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert = - \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)

En un cas més general, la funció pot canviar de signe a l'interval \(\left[ a,b \right]\). Caldrà trobar els punts en què la seva gràfica canvia de signe. Aquests definiran subintervals en què la funció no canvia de signe. L'àrea, aleshores, serà la suma dels valors absoluts de les integrals en cadascun d'aquests intervals.

\(\displaystyle A = \left\lvert \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert + \left\lvert \displaystyle\int_{c}^{d}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert + \left\lvert \displaystyle\int_{d}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert \)