La integral definida

Sigui una funció \(f(x)\) definida en un interval \(\left[ a,b \right] \), on \(a\) i \(b\) s'anomenen límits d'integració. Es defineix integral definida de \(f(x)\) en \(\left[ a,b \right] \) com el límit de les sumes de Riemann quan la longitud dels subintervals tendeix a \(0\).

\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{l \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right) \quad\quad\text{amb} \quad l=\sup \left\lbrace \Delta x_i \right\rbrace \)

Observacions:

El símbol \(\int\) és una S allargada que prové de la inicial de la paraula en llatí summa, que vol dir suma i el símbol \(\mathrm{d}\), que es fa servir per referir-se als diferencials, prové de la inicial de la paraula en llatí differentia.
Aquesta definició de la integral definida s'anomena integral de Riemann. Hi ha altres definicions més rigoroses com la integral de Lebesgue, però estan fora de l'abast d'aquest curs.
Teòricament no es pot aplicar aquesta definició a qualsevol funció. Però la condició que ha de complir una funció per ser integrable per Riemann és molt poc retrictiva: la funció ha de ser contínua, o discontínua en un nombre numerable de punts.
Si la funció és integrable per Riemann no cal especificar el tipus de suma de Riemann. Totes convergeixen cap al mateix límit.
Si es considera que els subintervals de la partició són tots de la mateixa longitud, aleshores es pot escriure la definició d'abans com:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \Delta x\cdot\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}f(x_i) \quad\quad\text{amb}\quad \left\lbrace\begin{array}{l} \displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}\\[6pt] x_0=a\\[6pt] x_1=a+\Delta x\\[6pt] x_2=a+2\Delta x\\[6pt] \ldots\\[6pt] x_n=b\\[6pt] \end{array}\right. \)

Propietats de la integral definida

La integral definida és lineal. És a dir, si \(f(x)\) i \(g(x)\) són funcions integrables per Riemann en un interval \(\left[ a,b \right] \), i \(\lambda\), \(\mu\) són nobres reals, aleshores:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} \left( \lambda f(x) + \mu g(x) \right) \,\mathrm{d}x = \lambda \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x + \mu \int_{a}^{b} g(x) \,\mathrm{d}x \)
Si els extrems d'integració coincideixen la integral és zero:
\( \displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x = 0 \)
Si s'intercanvien els extrems d'integració, canvia el signe de la integral.
\( \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)
Additivitat respecte a l'interval
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)

Relació entre integral definida i àrea

Si \(f(x)\) és una funció definida a l'interval \(\left[ a,b \right] \) i no negativa, aleshores \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \) coincideix amb l'àrea sota la funció \(f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\).

\( A = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)

Si \(f(x)\) és una funció definida a l'interval \(\left[ a,b \right] \) i no positiva, aleshores \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \) és una quantitat negativa i el seu valor absolut coincideix amb l'àrea sota la funció \(f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\).

\(\displaystyle A = \left\lvert \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert = - \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)

En un cas més general, la funció pot canviar de signe a l'interval \(\left[ a,b \right]\). Caldrà trobar els punts en què la seva gràfica canvia de signe. Aquests definiran subintervals en què la funció no canvia de signe. L'àrea, aleshores, serà la suma dels valors absoluts de les integrals en cadascun d'aquests intervals.

\(\displaystyle A = \left\lvert \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert + \left\lvert \displaystyle\int_{c}^{d}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert + \left\lvert \displaystyle\int_{d}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert \)