Sigui un funció no negativa en l'interval \(\left[ a,b \right]\). La gràfica d'aquesta funció juntament amb l'eix \(OX\) i les rectes \(x=a\) i \(x=b\) determinen una regió del pla que tindrà associada una determinada àrea \(A\).
El càlcul de l'àrea sota una corba és un dels problemes que més repercussió ha tingut en la història de les matemàtiques degut a que té aplicacions importants en alguns problemes de física.
Exemple
Donat un mòbil que es mou amb una velocitat constant de \(2\,\mathrm{m s^{-1}}\), l'espai recorregut entre els instants de temps \(t=1\,\mathrm{s}\) i \(t=5\,\mathrm{s}\) és igual a:
\(\Delta x = v \cdot \Delta t = 2\;\mathrm{m s^{-1}} \cdot \left( 5\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s} \right) = 8\,\mathrm{m}\)
Si fem una representació gràfica de la velocitat en funció del temps, l'espai recorregut que hem calculat coincideix amb l'àrea delimitada per la gràfica de la velocitat, l'eix d'abscisses i les rectes verticals \(t=1\,\mathrm{s}\) i \(t=5\,\mathrm{s}\).
Exercici 1
Un mòbil segueix un moviment rectilini uniformement accelerat amb una relació entre la velocitat i el temps representada a la següent gràfica:
Calcula l'espai recorregut entre els instants de temps \(t=1\,\mathrm{s}\) i \(t=4\,\mathrm{s}\) i comprova que coincideix amb l'àrea delimitada per la gràfica de la velocitat, l'eix d'abscisses i les rectes verticals \(t=1\,\mathrm{s}\) i \(t=4\,\mathrm{s}\).
Solució:El mètode d'exhaustió va ser ideat pel científic i matemàtic grec Arquimedes (287 aC - 212 aC) i és un mètode que permet determinar l'àrea d'una regió inscrivint-la i circumscrivint-la en regions poligonals. Les àrees d'aquestes regions poligonals es poden calcular fàcilment i proporcionen una fita superior i una inferior de l'àrea cercada. Si les regions poligonals es fan cada vegada més properes les cotes s'aniran aproximant cada vegada més.
Com a exemple, Arquimedes va emprar el mètode d'exhaustió per a aproximar el nombre \(\pi\) fent servir polígons inscrit i circumscrits de fins a 96 costats.
Sigui l'interval tancat \( \left[ a,b \right] \). Una partició d'aquest interval és un conjunt finit de punts \( P=\left\lbrace x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \right\rbrace \) que verifiquen:
\(\begin{array}{c} x_0=a \\[4pt] x_n=b \\[4pt] x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n \end{array} \)
Els punts d'aquesta partició \( P \) subdivideixen l'interval en \(n\) subintervals \(\left[ x_{i-1},x_i \right]\) amb \( i =1 \cdots n \).
\( \left[ a,b \right] = \left[ x_0,x_1 \right] \cup\left[ x_1,x_2 \right] \cup \ldots \cup \left[ x_{n-1},x_n \right] \)
En el següent exemple una partició subdivideix un interval en 5 intervals:
La longitud de cada un dels intervals és \(\Delta x_i = x_i-x_{i-1}\). El mètode més senzill per fer la partició d'un interval \( \left[ a,b \right] \) en \(n\) subintervals es fent que siguin de la mateixa longitud \(\Delta x\). Aleshores:
\( \displaystyle \left.\begin{array}{l} x_0=a \\ x_1=a+\Delta x \\ x_2=a+2\Delta x \\ x_3=a+3\Delta x \\ \cdots \\ x_n=a+n\Delta x=b \\ \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} x_i=a+i \cdot \Delta x \quad \forall i \in \left\lbrace 1,2,\cdots,n\right\rbrace \\[6pt] \displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n} \end{array} \right. \)
Sigui una funció \(f\) definida i fitada en un interval \(\left[ a,b \right]\), i sigui \( P=\left\lbrace x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \right\rbrace \) una partició. Es defineix una suma de Riemann de \(f\) en l'interval \(\left[ a,b \right]\) repecte a la partició \(P\) com:
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\cdot\Delta x_i=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\cdot\left(x_i-x_{i-1}\right)\quad\quad\text{amb }x_i^*\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]\)
La suma de Riemann, definida així pel matemàtic alemany Bernhard Riemann (1826 - 1866), és un mètode per aproximar l'àrea entre la gràfica d'una funció \(f\) i l'eix \(OX\) en un interval \(\left[ a,b \right]\) fent servir \(n\) rectangles de base \(x_i-x_{i-1}\) i d'altura \(f(x_i^*)\), amb \(x_i^*\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]\). Com que l'elecció de \(x_i^*\) és arbitrària dintre de l'interval \(\left[x_{i-1},x_{i}\right]\) existeixen diferents sumes de Riemann possibles:
|
Suma de Riemann esquerra A cada subinterval es calcula la funció en l'extrem esquerre de l'interval. \(f(x_i^*)=f(x_{i-1})\) |
Exemple
Volem trobar una aproximació a l'àrea sota la corba de la funció \( f(x)=x^3-x^2-x+2 \) en l'interval \(\left[ 1,2 \right]\) dividint l'interval en cinc subintervals d'igual longitud i fent servir la suma de Riemann esquerra, la suma de Riemann dreta i la suma de Riemann mitjana.
Si dividim l'interval \(\left[ 1,2 \right]\) en cinc subintervals, la partició estarà formada pels punts:
\(x_0=1 \quad\quad x_1=\text{1,2} \quad\quad x_2=\text{1,4} \quad\quad x_3=\text{1,6} \quad\quad x_4=\text{1,8} \quad\quad x_5=2 \)
Suma de Riemann esquerra:
\(\displaystyle \begin{align} S_5^{e} &=\sum_{i=1}^5 f(x_{i-1}) \cdot \left( x_{i}-x_{i-1} \right) \\[6pt] &=\sum_{i=1}^5 f(x_{i-1}) \cdot \text{0,2} \\[6pt] &=f(x_0)\cdot\text{0,2}+f(x_1)\cdot\text{0,2}+f(x_2)\cdot\text{0,2}+f(x_3)\cdot\text{0,2}+f(x_4)\cdot\text{0,2} \\[6pt] &=\text{1,000}\cdot\text{0,2}+\text{1,088}\cdot\text{0,2}+\text{1,384}\cdot\text{0,2}+\text{1,936}\cdot\text{0,2}+\text{2,792}\cdot\text{0,2} \\[6pt] &=\text{1,64} \end{align} \)
Suma de Riemann dreta:
\(\displaystyle \begin{align} S_5^{d} &=\sum_{i=1}^5 f(x_{i}) \cdot \left( x_{i}-x_{i-1} \right) \\[6pt] &=\sum_{i=1}^5 f(x_{i}) \cdot \text{0,2} \\[6pt] &=f(x_1)\cdot\text{0,2}+f(x_2)\cdot\text{0,2}+f(x_3)\cdot\text{0,2}+f(x_4)\cdot\text{0,2}+f(x_5)\cdot\text{0,2} \\[6pt] &=\text{1,088}\cdot\text{0,2}+\text{1,384}\cdot\text{0,2}+\text{1,936}\cdot\text{0,2}+\text{2,792}\cdot\text{0,2}+\text{4,000}\cdot\text{0,2} \\[6pt] &=\text{2,24} \end{align} \)
Suma de Riemann mitjana:
\(\displaystyle \begin{align} S_5^{d} &=\sum_{i=1}^5 f\left( \frac{x_{i}+x_{i-1}}{2} \right) \cdot \left( x_{i}-x_{i-1} \right) \\[6pt] &=\sum_{i=1}^5 f\left( \frac{x_{i}+x_{i-1}}{2} \right) \cdot \text{0,2} \\[6pt] &=f(\text{1,1})\cdot\text{0,2}+f(\text{1,3})\cdot\text{0,2}+f(\text{1,5})\cdot\text{0,2}+f(\text{1,7})\cdot\text{0,2}+f(\text{1,9})\cdot\text{0,2} \\[6pt] &=\text{1,021}\cdot\text{0,2}+\text{1,207}\cdot\text{0,2}+\text{1,625}\cdot\text{0,2}+\text{2,323}\cdot\text{0,2}+\text{3,349}\cdot\text{0,2} \\[6pt] &=\text{1,905} \end{align} \)