S'anomena integral racional a la integral d'una fracció algebraica, és a dir una integral de la forma:
\(\displaystyle \int \frac{A(x)}{B(x)} \,\mathrm{d}x \),
on \(A(x)\) i \(B(x)\) són polinomis.
Es poden fer les següents suposicions:
La fracció algebraica està simplificada, és a dir, \(A(x)\) i \(B(x)\) no tenen cap factor comú.
El grau del numerador és menor que el grau del denominador. En cas contrari s'ha de fer la divisió de polinomis:
\(\displaystyle \begin{array}{rc} A(x) & \begin{array}{|l}B(x)\quad\\\hline\end{array} \\ R(x) & Q(x) \end{array} \)
Aleshores:
\(\displaystyle \int \frac{A(x)}{B(x)} \,\mathrm{d}x = \int Q(x) \,\mathrm{d}x + \int \frac{R(x)}{B(x)} \,\mathrm{d}x \).
La integral \(\displaystyle \int Q(x) \,\mathrm{d}x \) és una integral immediata i la integral racional \(\displaystyle \int \frac{R(x)}{B(x)} \,\mathrm{d}x \) verifica que el grau del numerador és menor que el grau del denominador.
El coeficient de major grau del denominador és igual a \(1\).
El mètode per calcular integrals de funcions racionals comença per la descomposició d'aquestes funcions en fraccions algebraiques elementals, que són fraccions racionals més senzilles amb primitives conegudes. Per aconseguir-ho cal factoritzar prèviament el polinomi denominador buscant les seves arrels i es poden donar diversos casos:
En aquest cas, si el polinomi és de grau \(n\), tindrà \(n\) arrels \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) diferents i, per tant, es pot escriure:
\(\displaystyle B(x)=\left( x-a_1 \right)\cdot\left( x-a_2 \right)\cdot\ldots\cdot\left( x-a_n \right) \)
La fracció algebraica \(\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}\) es pot descompondre de manera única com a combinació lineal de fraccions simples en la forma:
\(\displaystyle \begin{align} \frac{A(x)}{B(x)} &= \sum_{i=1}^n \frac{M_i}{x-a_i} \\ &= \frac{M_1}{x-a_1}+\frac{M_2}{x-a_2}+\ldots\frac{M_n}{x-a_n} \end{align} \)
Cadascuna d'aquestes fraccions simples donarà lloc a una integral immediata.
\(\displaystyle \begin{align} \int\frac{A(x)}{B(x)}\,\mathrm{d}x &=\int \sum_{i=1}^n \frac{M_i}{x-a_i} \mathrm{d}x \\ &=\sum_{i=1}^n M_i \int \frac{1}{x-a_i} \mathrm{d}x \\ &=\sum_{i=1}^n M_i \cdot \ln \left\lvert x-a_i \right\rvert \\ &=M_1 \cdot \ln \left\lvert x-a_1 \right\rvert + M_2 \cdot \ln \left\lvert x-a_2 \right\rvert + \ldots + M_n \cdot \ln \left\lvert x-a_n \right\rvert \end{align} \)
Exemple
Volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int \frac{x^3-2x^2+2x-5}{x^2+3x+2} \,\mathrm{d}x\)
Com que el grau del numerador és major que el del denominador comencem fent la divisió dels dos polinomis
\(\displaystyle \begin{array}{rl} \begin{array}{rrrr} x^3\, & -2x^2\,\,\, & +2x\,\, & -5\,\, \end{array}& \begin{array}{|l}x^2+3x+2\quad\\\hline\end{array} \\ \begin{array}{rrrr} -x^3 & -3x^2 & -2x & \\[3pt]\hline & -5x^2 & & -5\\ & 5x^2 &+15x & +10\\[3pt]\hline & &+15x & +5\\ \end{array}&\begin{array}{l}\; x-5 \\\phantom{1} \\\phantom{1}\\\phantom{1}\end{array} \\ \end{array} \)
Ara podem escriure la integral com:
\(\displaystyle \begin{align} \int \frac{x^3-2x^2+2x-5}{x^2+3x+2} \,\mathrm{d}x &= \int \left( x-5+\frac{15x+5}{x^2+3x+2} \right)\,\mathrm{d}x \\[6pt] &= \int \left( x-5\right)\,\mathrm{d}x + \int \frac{15x+5}{x^2+3x+2} \,\mathrm{d}x \\[6pt] &= \frac{1}{2}x^2-5x + \int \frac{15x+5}{x^2+3x+2} \,\mathrm{d}x \end{align} \)
Aquesta nova integral racional no és immediata. Per tant la escriurem com a combinació lineal de fraccions simples. Primer haurem de factoritzar el denominador:
\(\displaystyle \begin{align} x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \quad &\Rightarrow\quad \frac{15x+5}{x^2+3x+2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\\[8pt] &\Rightarrow\quad \frac{15x+5}{(x+1)(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)}\\[8pt] &\Rightarrow\quad 15x+5=A(x+2)+B(x+1)\\[8pt] &\Rightarrow\quad 15x+5=(A+B)x+(2A+B)\\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{c} A+B=15 \\ 2A+B=5\end{array} \right. \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} A=-10 \\ B=25\end{array} \right. \\[8pt] \end{align} \)
I ja podem resoldre la integral:
\(\displaystyle \begin{align} \int \frac{x^3-2x^2+2x-5}{x^2+3x+2} \,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x^2-5x + \int \frac{15x+5}{x^2+3x+2} \,\mathrm{d}x \\[6pt] &= \frac{1}{2}x^2-5x + \int \frac{-10}{x+1} \,\mathrm{d}x+ \int \frac{25}{x+2} \,\mathrm{d}x \\[6pt] &= \frac{1}{2}x^2-5x -10 \, \ln \left\lvert x+1 \right\rvert + 25 \, \ln \left\lvert x+2 \right\rvert + C \end{align} \)
Exercici 18
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{x^3-2x+3}{x-1}\,\mathrm{d}x \).
Solució:Exercici 19
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{2x^2+5x-3}{x^3-x}\,\mathrm{d}x \).
Solució:Exercici 20
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{2x-5}{2x^2-2x-12}\,\mathrm{d}x \).
Solució:Exercici 21
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{2x-2}{x^2-6x+5}\,\mathrm{d}x \).
Solució: