El mètode d'integració per parts es basa en la derivada d'un producte i es fa servir per calcular algunes integrals de productes de funcions.
\(\displaystyle \begin{align} \left( u \, v \right)' = u' \, v + u \, v' \quad &\Rightarrow\quad \int \left( u \, v \right)'\,\mathrm{d}x = \int u' \, v\,\mathrm{d}x + \int u \, v'\,\mathrm{d}x\\[6pt] &\Rightarrow\quad u \, v = \int u' \, v\,\mathrm{d}x + \int u \, v'\,\mathrm{d}x\\[6pt] &\Rightarrow\quad \int u \, v'\,\mathrm{d}x = u \, v - \int u' \, v\,\mathrm{d}x \end{align} \)
Aquesta equació expressa la integral \(\displaystyle \int u \, v'\,\mathrm{d}x\) en termes d'una altra integral \(\displaystyle \int u' \, v\,\mathrm{d}x\). L'estratègia adequada per aplicar aquest mètode és separar la integral inicial en un producte de dues funcions \(u \, v'\) de tal manera que la segona integral sigui més senzilla d'avaluar. Per tant serà convenient triar com a funció \(u\) una funció que es simplifiqui quan es derivi o com a funció \(v'\) una funció que es simplifiqui quan s'integri.
Si fem servir els diferencials \(\mathrm{d}u=u'\,\mathrm{d}x\) i \(\mathrm{d}v=v'\,\mathrm{d}x\), aleshores la regla de la integració per parts es pot escriure:
\(\displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{\int u \,\mathrm{d}v = u \, v - \int v\,\mathrm{d}u} \)
Exemple
Volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int x \cdot \sin x \,\mathrm{d}x\)
Per aconseguir-ho prenem:
\(\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll} u=x & \rightarrow & \mathrm{d}u = \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}v=\sin x \,\mathrm{d}x & \rightarrow & v = -\cos x \end{array}\right\rbrace \)
Aleshores:
\(\displaystyle \begin{align} \int x \cdot \sin x \,\mathrm{d}x &= x \cdot \left(-\cos x\right) - \int \left(-\cos x\right) \,\mathrm{d}x\\[6pt] &= -x \cos x + \int \cos x \,\mathrm{d}x\\[6pt] &= -x \cos x + \sin x + C \end{align} \)
Exemple
Volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int \arctan x \,\mathrm{d}x\)
Per aconseguir-ho prenem:
\(\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll} u=\arctan x & \rightarrow & \mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}v=\mathrm{d}x & \rightarrow & v = x \end{array}\right\rbrace \)
Aleshores:
\(\displaystyle \begin{align} \int \arctan x \,\mathrm{d}x &= x \cdot \arctan x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\[6pt] &= x \cdot \arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\\[6pt] &= x \cdot \arctan x - \frac{1}{2}\cdot\ln \left( 1+x^2 \right) + C \end{align} \)
Exemple
Volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int x^2\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x\)
Per aconseguir-ho prenem:
\(\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll} u=x^2 & \rightarrow & \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}v=\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x & \rightarrow & v = \mathrm{e}^x \end{array}\right\rbrace \)
Aleshores:
\(\displaystyle \begin{align} \int x^2\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x &= x^2\,\mathrm{e}^x - \int 2x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\[6pt] &= x^2\,\mathrm{e}^x - 2\int x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \end{align} \)
Aquesta segona integral és més senzilla però no és immediata. Hem de tornar a integrar per parts:
\(\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll} u=x & \rightarrow & \mathrm{d}u = \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}v=\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x & \rightarrow & v = \mathrm{e}^x \end{array}\right\rbrace \)
\(\displaystyle \begin{align} \int x^2\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x &= x^2\,\mathrm{e}^x - 2\int x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\[6pt] &= x^2\,\mathrm{e}^x - 2\left[ x\,\mathrm{e}^x - \int \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \right]\\[6pt] &= x^2\,\mathrm{e}^x - 2\Big[ x\,\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x \Big] + C\\[6pt] &= \left( x^2-2x+2 \right)\,\mathrm{e}^x + C \end{align} \)
Exemple
Volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x\)
Per aconseguir-ho prenem:
\(\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll} u=\mathrm{e}^x & \rightarrow & \mathrm{d}u = \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x & \rightarrow & v = -\cos x \end{array}\right\rbrace \)
Aleshores:
\(\displaystyle \begin{align} \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x &= \mathrm{e}^x\,\left(-\cos x\right) - \int \mathrm{e}^x\,\left(-\cos x\right) \,\mathrm{d}x\\[6pt] &= -\mathrm{e}^x\,\cos x + \int \mathrm{e}^x\,\cos x \,\mathrm{d}x \end{align} \)
Aquesta segona integral no és immediata. Hem de tornar a integrar per parts:
\(\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll} u=\mathrm{e}^x & \rightarrow & \mathrm{d}u = \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}v=\cos x\,\mathrm{d}x & \rightarrow & v = \sin x \end{array}\right\rbrace \)
\(\displaystyle \begin{align} \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x &= -\mathrm{e}^x\,\cos x + \int \mathrm{e}^x\,\cos x \,\mathrm{d}x \\[6pt] &= -\mathrm{e}^x\,\cos x + \left[ \mathrm{e}^x\,\sin x - \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x \right] \\[6pt] &= -\mathrm{e}^x\,\cos x + \mathrm{e}^x\,\sin x - \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x \\[6pt] \end{align} \)
La integral que hem obtingut en aquest segon pas és la integral del començament. Ara podem fer:
\(\displaystyle \begin{align} \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x &= -\mathrm{e}^x\,\cos x + \mathrm{e}^x\,\sin x - \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x \\[6pt] \quad\quad &\Rightarrow\quad 2\int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x = -\mathrm{e}^x\,\cos x + \mathrm{e}^x\,\sin x \\[6pt] &\Rightarrow\quad \int \mathrm{e}^x\,\sin x \,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^x}{2}\cdot\left(\sin x-\cos x\right) + C \\[6pt] \end{align} \)
Exercici 17
Calcula les següents integrals indefinides:
| a) \(\displaystyle \int \arcsin{x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle \int x\,\cos{x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle \int x^2\,\cos{x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle \int \left(x+5\right)\,\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| e) \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{2x}\,\cos\left(4x\right)\,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| f) \(\displaystyle \int \ln x\,\mathrm{d}x \) | Solució: |