De vegades una integral \(\displaystyle \int f(x) \, \mathrm{d}x\) no té una primitiva immediata, però es pot fer un canvi de variable \(x=u(t)\) que transformi la integral en una més senzilla.
\(\displaystyle \left.\begin{array}{l} x=u(t) \\ \mathrm{d}x=u'(t)\cdot \mathrm{d}t \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \int f(x)\,\mathrm{d}x = \int f(u(t))\cdot u'(t)\,\mathrm{d}t \)
La nova integral és respecte a la variable \(t\). Si el canvi de variable ha sigut encertat i podem trobar una funció primitiva, només restarà desfer el canvi de variable.
\(\displaystyle \int f(u(t))\cdot u'(t)\,\mathrm{d}x = F(t)+C = F(u^{-1}(x))+C \)
Exemple
Si volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}}\)
Provem amb el canvi de variable \(x=t^2\):
\(x=t^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t\)
\(\displaystyle \begin{align} \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}} &\overset{^{(1)}}{=} \int \frac{2t\,\mathrm{d}t}{(t^2+1)t} \\[6pt] &= 2\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2+1} \\[6pt] &= 2 \arctan t + C \\[6pt] &\overset{^{(2)}}{=} 2 \arctan \sqrt{x} + C \end{align} \)
Hem fet el canvi de variable al pas \((1)\) i l'hem desfet al pas \((2)\) fent servir que:
\(x=t^2 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{x}\)
Exemple
Si volem calcular la integral:
\(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt[3]{x+5}}\,\mathrm{d}x\)
Provem amb el canvi de variable \(t=\sqrt[3]{x+5}\):
\(t=\sqrt[3]{x+5} \quad\Rightarrow\quad t^3=x+5 \quad\Rightarrow\quad x=t^3-5 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}x=3t^2\,\mathrm{d}t\)
\(\displaystyle \begin{align} \int \frac{x}{\sqrt[3]{x+5}}\,\mathrm{d}x &\overset{^{(1)}}{=} \int \frac{t^3-5}{t}\,3t^2\,\mathrm{d}t \\[6pt] &= 3\int \left(t^4-5t\right)\,\mathrm{d}t \\[6pt] &= \frac{3t^5}{5}-\frac{15t^2}{2} + C \\[6pt] &\overset{^{(2)}}{=} \frac{3\left(x+5\right)^{\frac{5}{3}}}{5}-\frac{15\left(x+5\right)^{\frac{2}{3}}}{2} + C \\[6pt] \end{align} \)
Hem fet el canvi de variable al pas \((1)\) i l'hem desfet al pas \((2)\).
Exercici 11
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+\ln^2 x\right)}\,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(t=\ln x\).
Solució:Exercici 12
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{3\cos x}{\sqrt{1+3\sin x}}\,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(t=1+3\sin x\).
Solució:Exercici 13
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}\,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(x=\sin t\).
Solució:Exercici 14
Calcula les següents integrals indefinides:
| a) \(\displaystyle \int \frac{1}{x+\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle \int \frac{\ln x}{x+x\ln^2 x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle \int \frac{3\tan^2 x + 4\tan x + 3}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: |
Exercici 15
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} \,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(x=t^{12}\).
Solució:Exercici 16
Calcula la integral indefinida \(\displaystyle \int \frac{1}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(t=\mathrm{e}^x\).
Solució: