El conjunt de totes les primitives d'una funció \(f(x)\) s'anomena integral indefinida de \(f(x)\) i es denota per:
\(\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x\)
Aquesta expressió es llegeix «integral de \(f\) respecte a \(x\)». El símbol \(\int\) és el signe d'integració, la funció \(f(x)\) és l'integrand o funció a integrar i l'expresió \(\mathrm{d}x\) indica respecte a quina variable s'integra la funció.
Amb aquesta definició si \(F(x)\) és una primitiva de \(f(x)\), aleshores:
\(\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x)+C\)
La integració indefinida és el procés invers de la derivació. Per tant:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \int f(x) \;\mathrm{d}x \right] = f(x) \)
\(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} \;\mathrm{d}x = f(x)+C \)
A més la integració és una operació lineal. Això vol dir que:
La integral d'una suma de funcions és igual a la suma de les integrals de les funcions.
\(\displaystyle \int \Big[ f(x) \pm g(x) \Big] \;\mathrm{d}x = \int f(x) \;\mathrm{d}x \pm \int g(x) \;\mathrm{d}x \)
La integral del producte d'una constant per una funció és igual a la constant multiplicada per la integral de la funció.
\(\displaystyle \int \Big[ k \cdot f(x) \Big] \;\mathrm{d}x = k \cdot \int f(x) \;\mathrm{d}x \)
La taula de les integrals immediates s'obté a partir de la taula de derivades de les funcions elementals.
| \(\displaystyle \int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \,,\; (n \ne -1)\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln \left\lvert x \right\rvert + C \) |
| \(\displaystyle \int \sin x \,\mathrm{d}x = - \cos x + C \) | \(\displaystyle \int \cos x \,\mathrm{d}x = \sin x + C \) |
| \(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x = \tan x + C \) | \(\displaystyle \int \left( 1+\tan^2 x \right) \,\mathrm{d}x = \tan x + C \) |
| \(\displaystyle \int \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x + C \) | \(\displaystyle \int a^x \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C \) |
| \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}x = \left\lbrace\begin{array}{r} \arcsin x + C \\[6pt] -\arccos x + C \end{array}\right.\) | \(\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \arctan x + C \) |
De vegades per trobar la integral indefinida d'una funció només caldrà escriure l'integrand com una combinació lineal d'aquestes funcions senzilles i fer les integrals per separat.
Exemple
La integral \(\displaystyle \int \left( 5x^3-\frac{3}{x} \right) \,\mathrm{d}x \) es pot calcular, escrivint-la primer com a combinació lineal d'integrals més senzilles
\( \displaystyle \int \left( 5x^3-\frac{3}{x} \right) \,\mathrm{d}x = 5\int x^3 \,\mathrm{d}x - 3\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \frac{5x^4}{4}-3\ln\left\lvert x \right\rvert + C \)
Exercici 5
Calcula les següents integrals indefinides:
| a) \(\displaystyle \int \left( 3x^2+2x \right) \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle \int 4\sin{x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle \int \left( 2\mathrm{e}^{x}+5\cos{x}\right) \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle \int \left( \frac{2}{x}+\frac{3}{x^3} \right) \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| e) \(\displaystyle \int \frac{x^2-5x+3}{x} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| f) \(\displaystyle \int \frac{mx^5}{nx^3} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| g) \(\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}} \,\mathrm{d}x \) | Solució: |