Sigui \(f(x)\) una funció definida en un interval \(\left[a,b\right]\). Si la gràfica d'aquesta funció gira \(360^{\circ}\) a l'entorn de l'eix \(OX\), aleshores genera un cos, anomenat cos de revolució, el volum del qual es pot calcular amb un mètode similar al de calcular àrees.
Exemple
Volem calcular el volum del cos de revolució generat per la funció \(f(x)=2\) en l'interval \(\left[1,4\right]\) al girar a l'entorn de l'eix \(OX\).
En aquest cas el cos de revolució és un cilindre de radi \(r=f(1)=2\) i d'altura \(h=4-1=3\). Per tant el seu volum és
\(V=\pi r^2 h=\pi \cdot 2^2 \cdot 3 = 12\pi\)
Exemple
Volem calcular el volum del cos de revolució generat per la funció \(f(x)=x-1\) en l'interval \(\left[1,3\right]\) al girar a l'entorn de l'eix \(OX\).
En aquest cas el cos de revolució és un con de radi \(r=f(3)=2\) i d'altura \(h=3-1=2\). Per tant el seu volum és
\(\displaystyle V=\frac{\pi r^2 h}{3}=\frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 2}{3}=\frac{8\pi}{3}\)
Per aproximar el volum d'una cos de revolució generat per una funció qualsevol en un interval \(\left[a,b\right]\) es comença definint una partició \(P=\left\lbrace x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \right\rbrace\) de l'interval \(\left[a,b\right]\). A cada subinterval \(\left[ x_{i-1}, x_i\right]\) d'aquesta partició es defineix un rectangle d'altura \(f(x_i^*)\), amb \(x_i^*\in \left[x_{i-1},x_i\right]\), tal i com es va fer a les sumes de Riemann. Cada un d'aquests rectangles al girar al voltant de l'eix \(OX\) generarà un cilindre de volum \(V=\pi\,\left[f(x_i^*)\right]^2\,\Delta x_i\). La suma dels volum de tots aquests cilindres donarà l'aproximació buscada.
En la figura anterior s'ha representat una aproximació esquerra d'una funció amb \(n\) subintervals. En aquest cas el volum es pot aproximar per
\(\displaystyle V=\sum_{i=0}^{n-1} \pi \, \left[ f(x_i) \right]^2 \cdot \Delta x_i\)
I fent el pas al límit \(n \to \infty\)
\(\displaystyle V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} \pi \, \left[ f(x_i) \right]^2 \cdot \Delta x_i=\int_a^b \pi \, \left[ f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x\)
\(\bbox[15px,border:1px solid]{ \displaystyle V=\pi\int_a^b \left[ f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x }\)
Exercici 13
Calcula el volum del cos de revolució generat per la funció \(f(x)=\sqrt{x}\) en l'interval \(\left[0,9\right]\) al girar a l'entorn de l'eix \(OX\).
Solució:Exercici 14
Calcula el volum del cos de revolució generat per la funció \(f(x)=x^2\) en l'interval \(\left[0,2\right]\) al girar a l'entorn de l'eix \(OX\).
Solució:Exercici 15
Calcula el volum del cos de revolució generat per la funció \(f(x)=x+1\) en l'interval \(\left[1,3\right]\) al girar a l'entorn de l'eix \(OX\).
Solució:Exercici 16
Calcula el volum del cos de revolució generat per la funció \(f(x)=\sin x\) en l'interval \(\left[0,\pi\right]\) al girar a l'entorn de l'eix \(OX\).
Solució: