Si \(f(x)\) és una funció definida a l'interval \(\left[ a,b \right] \) i no negativa, aleshores \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \) coincideix amb l'àrea sota la funció \(f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\).
\( A = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)
Exemple
L'area delimitada per la funció \(f(x)=2+\sqrt{x}\) i l'eix \(OX\) i les rectes \(x=1\) i \(x=4\) és
\(\displaystyle \int_{1}^{4} \left( 2+\sqrt{x} \right)\mathrm{d}x =\left[ 2x+\frac{2x\sqrt{x}}{3} \right]_{1}^{4} =\left( 2\cdot4+\frac{2\cdot4\sqrt{4}}{3} \right) - \left( 2\cdot1+\frac{2\cdot1\sqrt{1}}{3} \right) =\frac{32}{3}\)
Si \(f(x)\) és una funció definida a l'interval \(\left[ a,b \right] \) i no positiva, aleshores \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \) és una quantitat negativa i el seu valor absolut coincideix amb l'àrea sota la funció \(f(x)\) entre \(x=a\) i \(x=b\).
\(\displaystyle A = \left\lvert \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \right\rvert = - \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \)
Exemple
L'area delimitada per la funció \(f(x)=\sin 2x\) i l'eix \(OX\) en l'interval \(\displaystyle\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\) és
\(\displaystyle A = \left\lvert \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x\,\mathrm{d}x \right\rvert = \left\lvert \left[ -\frac{\cos{2x}}{2} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \right\rvert = \left\lvert-\frac{\cos{2\pi}}{2} + \frac{\cos{\pi}}{2} \right\rvert = 1 \)
En un cas més general, la funció pot canviar de signe a l'interval \(\left[ a,b \right]\). Es pot calcular l'àrea com
\(\displaystyle A = \displaystyle\int_{a}^{b} \left\lvert f(x)\right\rvert \,\mathrm{d}x \)
A la pràctica es subdivideix l'interval d'integració en subintervals en què la funció no canvia de signe; es calcula l'àrea en cada un d'aquests intervals i per últim es sumen totes aquestes àrees.
Exemple
Volem calcular l'area delimitada per la funció \(f(x)=x^3-x\) i l'eix \(OX\) en l'interval \(\displaystyle\left[-1,1\right]\).
El primer que farem és trobar els punts de tall de la funció amb l'eix \(OX\).
\(x^3-x=0 \quad\rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\x=\pm1\end{array}\right.\)
En aquest cas la funció té un punt de tall amb l'eix \(OX\) a l'interior de l'interval d'ntegració.
\( \displaystyle \begin{align} A & =\left\lvert\int_{-1}^{0}\left(x^3-x\right)\,\mathrm{d}x\right\rvert +\left\lvert\int_{0}^{1}\left(x^3-x\right)\,\mathrm{d}x\right\rvert \\ & =\left\lvert\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}\right\rvert +\left\lvert\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\right\rvert \\ & =\left\lvert\left(\frac{0^4}{4}-\frac{0^2}{2}\right)-\left(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^2}{2}\right) \right\rvert +\left\lvert\left(\frac{1^4}{4}-\frac{1^2}{2}\right)-\left(\frac{0^4}{4}-\frac{0^2}{2}\right) \right\rvert \\ & =\left\lvert\frac{1}{4} \right\rvert +\left\lvert -\frac{1}{4} \right\rvert \\ &= \frac{1}{2} \end{align} \)
Exercici 7
Calcula l'àrea compresa entre la gràfica de la funció \( f(x)=x^3-4x \) i l'eix \(OX\).
Solució:Exercici 8
Calcula l'àrea compresa entre la gràfica de la funció \( f(x)=x^2-x \) i l'eix \(OX\) en l'interval \(\left[-1,2\right]\).
Solució:Exercici 9
Calcula l'àrea compresa entre la gràfica de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2}-1 \) i l'eix \(OX\) en l'interval \(\left[1,2\right]\).
Solució:Exercici 10
Calcula l'àrea compresa entre la gràfica de la funció \(\displaystyle f(x)=\arctan{x} \) i l'eix \(OX\) en l'interval \(\left[-1,1\right]\).
Solució:Exemple
Volem trobar l'àrea d'una el·lipse de semieixos \(a\) i \(b\) centrada a l'origen.
\(\displaystyle \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\)
Degut a la simetria de la corba, l'àrea és 4 vegades l'àrea de l'el·lipse al primer quadrant.
\(\displaystyle A= 4\cdot\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x \)
Aquesta integral és pot simplificar fent el canvi de variable
\( \displaystyle \begin{array}{ll} x=a\sin t &\to&t=\arcsin \frac{x}{a} \\ \mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t && \\ x=0&\to&t=0 \\ x=a&\to&t=\frac{\pi}{2} \end{array} \)
Amb això
\( \displaystyle \begin{align} A &= 4\cdot\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x\\ &= \frac{4b}{a}\cdot\int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2-(a \sin t)^2} \,a\cos t\,\mathrm{d}t\\ &= 4ab\cdot\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 t} \,\cos t\,\mathrm{d}t\\ &= 4ab\cdot\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\mathrm{d}t\\ &= 4ab\cdot\int_0^{\pi/2} \left( \frac{1+\cos 2t}{2} \right)\,\mathrm{d}t\\ &= 4ab\cdot\left[ \frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{\pi/2}\\ &= 4ab\cdot\left[ \left( \frac{\pi}{4}+\frac{\sin \pi}{4} \right)-\left( \frac{0}{2}+\frac{\sin 0}{4} \right) \right]\\ &= 4ab\cdot\frac{\pi}{4}\\ &= \pi ab \end{align} \)
L'àrea compresa entre dues funcions es pot calcular com
\(\displaystyle A = \int_a^b \Big\lvert f(x)-g(x) \Big\rvert \,\mathrm{d}x \)
A la pràctica és divideix l'interval d'integració en subintervals més petits fent servir els punts d'intersecció de les dues funcions; en cada un d'aquests subintervals es calcula l'àrea amb la integral de la diferència positiva de les dues funcions i per últim es sumen totes aquestes àrees.
Exemple
Volem calcular l'area compresa entre les funcions \(f(x)=x^2-4x+2\) i \(g(x)=x-2\) en l'interval \(\displaystyle\left[0,5\right]\). Primer trobarem els punts d'intersecció de les dues funcions.
\( x^2-4x+2=x-2 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+4=0 \quad\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} x=1\\[6pt]x=4 \end{array}\right. \)
L'area es troba fent
\( \displaystyle \begin{align} A & = \int_0^5 \Big\lvert f(x)-g(x) \Big\rvert \,\mathrm{d}x \\ & = \int_0^1 \big( f(x)-g(x) \big) \,\mathrm{d}x + \int_1^4 \big( g(x)-f(x) \big) \,\mathrm{d}x + \int_4^5 \big( f(x)-g(x) \big) \,\mathrm{d}x \\ & = \int_0^1 \big( x^2-5x+4 \big) \,\mathrm{d}x + \int_1^4 \big( -x^2+5x-4 \big) \,\mathrm{d}x + \int_4^5 \big( x^2-5x+4 \big) \,\mathrm{d}x \\ & = \Big[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x \Big]_0^1 + \Big[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \Big]_1^4 + \Big[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x \Big]_4^5 \\ & = \Big( \frac{11}{6} - 0 \Big) + \Big( \frac{8}{3} + \frac{11}{6} \Big) + \Big( -\frac{5}{6} + \frac{8}{3} \Big) \\ & = \frac{49}{6} \end{align} \)
Exercici 11
Calcula l'àrea del recinte limitat per la paràbola \(\displaystyle y=x^2+2 \) i la recta que passa pels punts \(\left(0,2\right)\) i \(\left(2,4\right)\).
Solució:Exercici 12
Calcula l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions \(f(x)=x^2\) i \(g(x)=-x^2+8\).
Solució: