Sigui \(f(x)\) és una funció contínua a l'interval \(\left[ a,b \right]\). Es defineix la funció integral com la funció \(F(x)\) que assigna a cada valor \(x\in\left[ a,b \right]\) el valor de la integral definida de \(f(x)\) entre \(a\) i \(x\).
\( \displaystyle F(x) = \int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \)
La variable \(x\) d'aquesta funció és el límit superior d'integració de la integral definida. Per evitar confusions es canvia el nom de la variable d'integració.
La derivada de la funció integral és:
|
\(\displaystyle \begin{align} F'(x) & = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\[6pt] & = \lim_{h\to 0} \frac{\displaystyle\int_{a}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t}{h} \\[6pt] & = \lim_{h\to 0} \frac{\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t}{h} \\[6pt] \end{align} \) |
Per calcular aquest límit es fita la integral inferiorment i superiorment. En l'interval \(\left[ x,x+h \right]\) existeixen uns determinats valors \(x_{inf}\) i \(x_{sup}\) de la variable independent en els que la funció \(f(x)\) pren el seu valor ínfim \(f(x_{inf})\) i suprem \(f(x_{sup})\) respectivament.
\( \displaystyle \exists x_{inf}\in\left[ x,x+h \right] : \quad f(x_{inf})=\inf_{x\in\left[x,x+h\right]} f(x) \\[10pt] \displaystyle \exists x_{sup}\in\left[ x,x+h \right] : \quad f(x_{sup})=\sup_{x\in\left[x,x+h\right]} f(x) \)
Aleshores, la integral definida \(\displaystyle \int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t\) estarà fitada entre les àrees dels dos rectangles que tenen tots dos com a base \(h\) i que tenen com a altura \(f(x_{inf})\) i \(f(x_{sup})\).
\(\displaystyle f(x_{inf}) \cdot h \le \int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t \le f(x_{sup}) \cdot h\)
Dividint entre \(h\)
\(\displaystyle f(x_{inf}) \le \frac{\displaystyle \int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t}{h} \le f(x_{sup}) \)
I, fent el pas al límit:
\(\displaystyle \begin{align} \lim_{h\to 0} f(x_{inf}) \le \lim_{h\to 0} \frac{\displaystyle \int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t}{h} \le \lim_{h\to 0} f(x_{sup}) \quad &\Rightarrow\quad f(x) \le \lim_{h\to 0} \frac{\displaystyle \int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t}{h} \le f(x) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \lim_{h\to 0} \frac{\displaystyle \int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t}{h} = f(x) \\[8pt] &\Rightarrow\quad F'(x) = f(x) \end{align}\\[12pt] \phantom{.} \)
Teorema fonamental del càlcul
Sigui \(f(x)\) una funció contínua en l'interval tancat \(\left[ a,b \right]\) i sigui la funció integral \(F(x)\) definida per
\( F(x) = \displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \quad \forall x\in\left[ a,b \right]\);
aleshores \(F(x)\) és una primitiva de \(f(x)\) en \(\left[ a,b \right]\), és a dir
\( F'(x) = f(x) \).
O equivalentment
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t =f(x) \).
El teorema fonamental del càlcul afirma que la derivació i la integració d'una funció són processos inversos. Aquest resultat va permetre la convergència de dues àrees de les matemàtiques que fins aleshores s'estudiaven per separat. Per una banda, el càlcul aproximat d'àrees, iniciat per Arquimedes i, per altra banda, el càlcul diferencial que estaven desenvolupant Newton, Leibniz i Barrow.
Sigui \(f(x)\) una funció contínua en l'interval tancat \(\left[ a,b \right]\) i sigui \(G(x)\) una primitiva qualsevol de \(f(x)\). Aleshores es verifica
\(G'(x)=f(x) \quad \forall x \in [a,b]\).
Sigui també la funció integral de \(f(x)\)
\( F(x) = \displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \quad \forall x\in\left[ a,b \right]\).
Pel teorema fonamental del càlcul també es verifica
\(F'(x)=f(x) \quad \forall x \in [a,b]\),
és a dir la funció \(F(x)\) també és una primitiva de \(f(x)\). Per tant
\(\exists K \in \mathbb{R}: \quad F(x)=G(x)+K, \quad \forall x \in [a,b]\).
Com que
\( F(a) = \displaystyle\int_{a}^{a}f(t)\,\mathrm{d}t = 0\),
aleshores
\( 0 = G(a)+K \quad\Rightarrow\quad K=-G(a)\),
i per tant:
\( F(x)=G(x)-G(a) \quad \forall x \in [a,b] \quad\Rightarrow\quad \displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t=G(x)-G(a) \quad \forall x\in\left[ a,b \right]\)
En particular si \(x=b\) es pot escriure aquest resultat com
\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\mathrm{d}t=G(x)-G(a) \quad \forall x\in\left[ a,b \right]\)
La manera habitual d'escriure aquest resultat és fent servir la \(x\) en lloc de la \(t\) com a variable muda d'integració i anomenant \(F(x)\) a la primitiva.
Regla de Barrow
Sigui \(f(x)\) una funció contínua en l'interval tancat \(\left[ a,b \right]\). Si \(F(x)\) és una primitiva de \(f(x)\) en \(\left[ a,b \right]\), aleshores
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a) = \Big[ F(x) \Big]_{a}^{b}\).
Exemples
|
a) \(\displaystyle \begin{align} \int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x &= \Big[ \ln x \Big]_{1}^{2} \\[6pt] &= \ln 2 - \ln 1 \\[6pt] &= \ln 2 \end{align} \) | |
|
b) \(\displaystyle \begin{align} \int_{0}^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x &= \Big[ -\cos x \Big]_{0}^{2\pi} \\[6pt] &= -\cos 2\pi + \cos 0 \\[6pt] &= -1 + 1 \\[6pt] &= 0 \end{align} \) |
Exercici 4
Calcula les següents integrals definides:
| a) \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin x \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle \int_{3}^{6} \left( x^2-x \right)\,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle \int_{1}^{2} \ln x\,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^2\sin x\,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| e) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| f) \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^x\sin x \,\mathrm{d}x \) | Solució: | |
| g) \(\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{x+5}{x^2-2x+1} \,\mathrm{d}x \) | Solució: |
El mètode de canvi de variable també es pot aplicar a les integrals definides, però tenint en compte que també ha d'afectar als límits d'integració i que aleshores no cal desfer cap canvi de variable.
Sigui la funció \(x=u(t)\) invertible i amb derivada contínua en l'interval d'integració \(\left[ a,b \right]\), aleshores:
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)} f(u(t))\cdot u'(t)\,\mathrm{d}t\)
Exemple
La integral definida
\(\displaystyle \int_{0}^{9} \frac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x}} \)
es pot calcular amb el canvi de variable \(x=t^2\). Aquest canvi implica que
\( \displaystyle \begin{array}{l} x=t^2 & \to & t=\sqrt{x} \\ \mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t & \to & \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{x}} \\ x=0 & \to & t=0 \\ x=9 & \to & t=3 \end{array} \)
i aleshores
\( \displaystyle \begin{align} \int_{0}^{9} \frac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x}} &=\int_{0}^{3} \frac{2t\mathrm{d}t}{t^2+t} \\[6pt] &=2\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d}t}{t+1} \\[6pt] &=2\Big[\ln\left\lvert t+1 \right\rvert\Big]_{0}^{3} \\[6pt] &=2\Big[ \ln 4 - \ln 1 \Big]_{0}^{3} \\[6pt] &=4 \ln 2 \end{align} \)
Exercici 5
Calcula la integral definida \(\displaystyle\int_{0}^{1} x\left( x^2+1 \right)^3 \,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(t=x^2+1\).
Solució:Exercici 6
Calcula la integral definida \(\displaystyle\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2x-1}} \,\mathrm{d}x \) fent el canvi de variable \(t^2=2x-1\).
Solució: