Siguin dues funcions \(F(x)\) i \(f(x)\) definides en un mateix domini. Es diu que \(F(x)\) és una primitiva o antiderivada de \(f(x)\) si es verifica que \(F'(x)=f(x)\).
Degut a que la derivada d'una constant és zero, el nombre de primitives és infinit, ja que si \(F(x)\) és una primitiva aleshores \(F(x)+C\), amb \(C\in\mathbb{R}\), també ho és. La constant \(C\) s'anomena constant d'integració.
\(F'(x)=f(x) \quad\Rightarrow\quad \left(F(x)+C\right)'= F'(x)+0=f(x)\)
Si representem gràficament les diferents funcions primitives en un mateix sistema de coordenades cartesianes es pot observar que per passar d'una a una altra només cal aplicar una translació vertical.
Exemple
Una primitiva de la funció \(f(x)=x^2\) és la funció \(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}\), degut a que:
\(\displaystyle F'(x)=\frac{3x^2}{3}=x^2=f(x)\)
Però també són primitives les funcions \(\displaystyle \frac{x^3}{3}-2\), \(\displaystyle \frac{x^3}{3}+1\), \(\displaystyle \frac{x^3}{3}+3\) i qualsevol funció de la forma \(\displaystyle \frac{x^3}{3}+C\).
Exemple
Una primitiva de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\) en l'interval \(\left(0,+\infty\right)\) és \(F(x)=\ln x\). En aquest interval les dues funcions estan ben definides i a més:
\(\displaystyle F'(x)=\frac{1}{x}=f(x)\)
Si volem trobar una primitiva de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\) en tot el seu domini, que és \(\mathbb{R}-\left\lbrace 0\right\rbrace\), aleshores la primitiva haurà de ser \(F(x)=\ln\left\lvert x \right\rvert\).
Exercici 1
Escriu l'expressió general de les primitives de les funcions següents:
Exercici 2
Determina la funció primitiva de la funció \(f(x)=3x^2\) la gràfica de la qual conté el punt \(\left(1,-3\right)\).
Solució:Exercici 3
Determina la funció primitiva de la funció \(f(x)=\sin x\) la gràfica de la qual passa per l'origen de coordenades.
Solució:Exercici 4
Sabem que la funció \(F(x)=3x^2+4x-3\) és una primitiva d'una funció \(f(x)\). Quina és la funció \(f(x)\)?
Solució: