Donats dos punts \(P\left( x_P, y_P, z_P \right)\) i \(Q\left( x_Q, y_Q, z_Q \right)\), es defineix la distància entre \(P\) i \(Q\) com:
\(\displaystyle \text{d}(P,Q)=\sqrt{\left(x_P-x_Q\right)^2+\left(y_P-y_Q\right)^2+\left(z_P-z_Q\right)^2}\)
Aquesta fórmula per determinar la distància entre dos punts coincideix amb el mòdul del vector \(\vec{PQ}\) i es dedueix del teorema de Pitàgores. S'anomena distància euclidiana i verifica les següents propietats:
\(\text{d}(P,Q) \ge 0\)
La distància és no negativa. A més \(\text{d}(P,Q) = 0 \Leftrightarrow P=Q\)
\(\text{d}(P,Q) = \text{d}(Q,P)\)
La distància és simètrica.
\(\text{d}(P,R) \le \text{d}(P,Q)+\text{d}(Q,R)\)
Aquesta propietat s'anomena desigualtat triangular.
Exercici 36
Calcula la distància entre els punts \(P\left( 4,-1,0 \right)\) i \(Q\left( 0,3,-2 \right)\).
| Solució: |
Exercici 37
Donat el punt \(P(5,1,0)\), quina condició han de verificar les coordenades \((x,y,z)\) d'un punt \(Q\) per tal que \(\text{d}(P,Q)=4\)?
Exercici 38
Si la distància entre els punts \(P\left( 2,1,3 \right)\) i \(Q\left( 1,-1,t \right)\) és igual a \(\sqrt{6}\), quin és el valor de t?
| Solució: |
Exercici 39
Calcula el perímetre del triangle que s'obté unint els punts de tall del pla \(4x+4y+3z-12=0\) amb els eixos de coordenades.
| Solució: |