Posició relativa de dues rectes

Posició relativa de dues rectes

A l'espai dues rectes poden ser coincidents, paral·leles, secants o rectes que es creuen.

Posició relativa de dues rectes expressades com a intersecció de dos plans

Siguin dues rectes \(r\) i \(s\), expressades com a intersecció de dos plans:

\( r:\;\left\lbrace\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[6pt] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array}\right. \quad\quad\quad s:\;\left\lbrace\begin{array}{l}A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \\[6pt] A_4x+B_4y+C_4z+D_4=0 \end{array}\right. \)

Per determinar quina és la seva posició relativa es pot estudiar la compatibilitat del sistema:

\( \left.\begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[6pt] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\[6pt] A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \\[6pt] A_4x+B_4y+C_4z+D_4=0 \end{array}\right\rbrace \)

Es poden donar-se els següents casos:

• 1r cas: \(\quad\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=2\)

  El sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Els quatre plans tenen una recta una recta comú. Per tant, les rectes \(r\) i \(s\) són coincidents.

• 2n cas: \(\quad\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=3\)

  El sistema és incompatible. Una equació és combinació lineal de les altres tres. Les dues rectes són coplanàries, és a dir, un dels plans que conté una recta també conté l'altra. Les rectes \(r\) i \(s\) són paral·leles.

• 3r cas: \(\quad\textrm{rang}M=3\) i \(\textrm{rang}M'=3\)

  El sistema és compatible determinat. La solució del sistema dóna les coordenades del punt intersecció. Les rectes \(r\) i \(s\) són secants.

• 4t cas: \(\quad\textrm{rang}M=3\) i \(\textrm{rang}M'=4\)

  El sistema és incompatible. No hi cap punt comú. Totes les equacions són linealment independents. Les dues rectes no són coplanàries, cap pla conté les dues rectes alhora. Les rectes \(r\) i \(s\) es creuen.

Posició relativa de dues rectes definides a partir d'un punt i un vector director

Sigui una recta \(r\), definida a partir d'un punt \(P\) i un vector director \(\vec{u}\) i altra recta \(s\) definida a partir d'un punt \(Q\) i un vector director \(\vec{v}\). Per esbrinar quina és la posició relativa entre les dues rectes es poden fer servir les següents propietats:

• Si les rectes són coincidents o paral·leles, els seus vectors directors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) tenen la mateixa direcció (i, per tant, els seus components són proporcionals). Un vector construït d'un punt de \(r\) fins un punt de \(s\) ,per exemple el vector \(\vec{PQ}\) tindrà també la mateixa direcció si les rectes són coincidents; i una direcció diferent si les rectes són paral·leles.

• Si les rectes es tallen o es creuen els seus vectors directors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) no tenen la mateixa direcció. Un vector construït d'un punt de \(r\) fins un punt de \(s\), per exemple el vector \(\vec{PQ}\) serà coplanari a \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) si les rectes es tallen i no ho serà si les rectes es creuen.

\( \displaystyle \begin{array}{lll} \vec{u},\vec{v} \;\;\mathrm{v.l.d.}\quad &\Rightarrow\quad &\left\lbrace\begin{array}{lll} \vec{u},\vec{PQ} \;\;\mathrm{v.l.d.}\quad&\Rightarrow\quad&r\mathsf{\;i\;}s\mathsf{\;\;coincidents} \\[6pt] \vec{u},\vec{PQ} \;\;\mathrm{v.l.i.}\quad&\Rightarrow\quad&r\mathsf{\;i\;}s\mathsf{\;\;paral·leles} \end{array}\right.\\[6pt] \vec{u},\vec{v} \;\;\mathrm{v.l.i.}\quad &\Rightarrow\quad &\left\lbrace\begin{array}{lll} \left[\vec{u},\vec{v},\vec{PQ}\right] = 0\quad&\Rightarrow\quad&r\mathsf{\;i\;}s\mathsf{\;\;secants} \\[6pt] \left[\vec{u},\vec{v},\vec{PQ}\right]\ne0\quad&\Rightarrow\quad&r\mathsf{\;i\;}s\mathsf{\;\;es\;creuen} \end{array}\right. \end{array} \)