A l'espai una recta respecte a un pla pot ser secant, paral·lela o estar continguda al pla.
Siguin una recta \(r\), expressada com a intersecció de dos plans:
\(r:\;\left\lbrace\begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[6pt] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array}\right.\)
I sigui \(\pi\) un pla d'equació general:
\( \pi:\;A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \)
Per determinar quina és la seva posició relativa cal estudiar la compatibilitat del sistema format per les tres equacions. Les matrius \(M\) i \(M'\) són com a mínim de rang 2 degut a que les dues equacions que determinen la recta així ho exigeixen. Aleshores poden donar-se els següents casos:
1r cas: \(\quad\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=2\)
El sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Els tres plans tenen una recta comú que és la recta \(r\). Per tant, la recta \(r\) està continguda en el pla \(\pi\).
2n cas: \(\quad\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=3\)
El sistema és incompatible. La recta i el pla no tenen cap punt comú. Per tant, la recta \(r\) i el pla \(\pi\) són paral·lels.
3r cas: \(\quad\textrm{rang}M=3\) i \(\textrm{rang}M'=3\)
El sistema és compatible determinat. La recta i el pla tenen un punt d'intersecció, les coordenades del qual venen donades per la solució del sistema. La recta \(r\) i el pla \(\pi\) són secants o incidents.
Exercici 27
Estudia la posició relativa de la recta:
\(\displaystyle r:\;\left\lbrace\begin{array}{l}3x+3y+2z-6=0 \\[6pt]3x+2y+3z-1=0\end{array}\right.\)
respecte al pla \(\pi:\;x+y+z=0\).
Exercici 28
Estudia la posició relativa de la recta:
\(\displaystyle r:\;\left\lbrace\begin{array}{l}2x+y-3z-6=0 \\[6pt]3x-y-2z-6=0\end{array}\right.\)
respecte al pla \(\pi:\;x-2y+z-4=0\).
Siguin una recta \(r\), definida a partir d'un punt \(P\) i un vector director \(\vec{v}\), i sigui un pla \(\pi\) de vector normal \(\vec{n}\). Aleshores:
Si la recta està continguda en el pla, els vectors \(\vec{v}\) i \(\vec{n}\) són perpendiculars i el punt \(P\) pertany al pla.
Si la recta i el pla són paral·lels, els vectors \(\vec{v}\) i \(\vec{n}\) són perpendiculars i el punt \(P\) no pertany al pla.
Si la recta i el pla són secants, els vectors \(\vec{v}\) i \(\vec{n}\) no són perpendiculars.
Exercici 29
Estudia la posició relativa de la recta:
\(\displaystyle r:\;\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{6}=\frac{z-1}{2}\)
respecte al pla \(\pi:\;x-y+z-3=0\).
Exercici 30
Estudia la posició relativa de la recta:
\(\displaystyle r:\;(x,y,z)=(3,1,0)+\lambda(1,2,5) \)
respecte al pla \(\pi:\;x+2y-z-5=0\).
De vegades la recta pot estar expressada mitjançant equacions paramètriques:
\(r:\;\left\lbrace\begin{array}{l} x=x_P+\lambda v_x \\[6pt] y=y_P+\lambda v_y \\[6pt] z=z_P+\lambda v_z \end{array}\right.\)
En aquest cas, trobar la intersecció de la recta \(r\) amb el pla \(\pi\), d'equació \(Ax+By+Cz+D=0\), és equivalent a resoldre el sistema de quatre equacions amb quatre incógnites:
\(\left.\begin{array}{l} x=x_P+\lambda v_x \\[6pt] y=y_P+\lambda v_y \\[6pt] z=z_P+\lambda v_z \\[6pt] Ax+By+Cz+D=0 \end{array}\right\rbrace\)
Aquest sistema es resol fàcilment substituint \(x\), \(y\) i \(z\) a l'equació del pla per les seves expressions a les equacions de la recta:
\( A\left( x_P+\lambda v_x \right)+B\left( y_P+\lambda v_y \right)+C\left( z_P+\lambda v_z \right)+D=0 \)
En aquesta equació la incògnita és \(\lambda\). En resoldre-la poden passar tres casos:
\(\lambda=k\). L'equació una única solució. El sistema és compatible determinat i la recta i el pla tenen un únic punt comú. Les seves coordenades es troben substituint el valor de \(\lambda\) en les equacions paramètriques de la recta.
\(0\lambda=0\). L'equació té infinites solucions (pert tant, no és una equació, és una identitat). El sistema és compatible indeterminat i la recta està continguda en el pla.
\(0\lambda=k\ne0\). L'equació no té solució. El sistema és incompatible i la recta i el pla són paral·lels.
Exercici 31
Estudia la posició relativa de la recta:
\(r:\;\left\lbrace\begin{array}{l} x=2+\lambda \\[6pt] y=-1+3\lambda \\[6pt] z=3-\lambda \end{array}\right.\)
respecte al pla \(\pi:\;x-2y+4z-4=0\).