Posició relativa de tres plans

Posició relativa de tres plans donades les seves equacions generals

Siguin tres plans donats per les seves equacions generals:

\(\begin{array}{l}\pi_1:\;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[6pt] \pi_2:\;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\[6pt] \pi_3:\;A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \end{array}\)

Per determinar quina és la seva posició relativa cal estudiar la compatibilitat del sistema format per les tres equacions. Aleshores poden donar-se els següents casos:

• Cas 1.1: \(\quad\textrm{rang}M=1\) i \(\textrm{rang}M'=1\)

  El sistema és compatible indeterminat amb dos graus de llibertat. En aquest cas els nombres que formen les files de la matriu ampliada són proporcionals i per tant els tres plans són coincidents.

• Cas 1.2: \(\quad\textrm{rang}M=1\) i \(\textrm{rang}M'=2\)

  El sistema és incompatible. No tenen cap punt comú. Els plans poden ser dos coincidents i l'altre paral·lel, o tots tres paral·lels.

• Cas 2.2: \(\quad\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=2\)

  El sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Una de les equacions és combinació lineal de les altres dues. Els tres plans són tres plans diferents amb una recta comú, o dos plans coincidents i l'altre secant.

• Cas 2.3: \(\quad\textrm{rang}M=2\) i \(\textrm{rang}M'=3\)

  El sistema és incompatible. Els tres plans són secants dos a dos, o bé dos plans són paral·lels i l'altre és secant a tots dos.

• Cas 3.3: \(\quad\textrm{rang}M=3\) i \(\textrm{rang}M'=3\)

  El sistema és compatible determinat. Els tres plan concorren en un punt i es diu que formen un triedre. La solució del sistema proporciona les coordenades del punt comú.