Recta determinada per dos plans
Recta determinada per dos plans
A l'espai, dos plans \(\pi_1\) i \(\pi_2\) no paral·lels determinen sempre una recta.
Per trobar l'equació d'aquesta recta primer s'ha de comprovar que els plans no siguin paral·lels ni coincidents. El més còmode és fer-ho a partir dels coeficients de les equacions generals dels dos plans:
\(\begin{array}{l}\pi_1:\;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[6pt]\pi_2:\;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{array}\)
Si \(\displaystyle \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}\), aleshores els plans són coincidents.
Si \(\displaystyle \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne\frac{D_1}{D_2}\), aleshores els plans són paral·lels.
En qualsevol altre cas els plans es tallen en una recta.
Exemple
Volem trobar l'equació vectorial de la recta següent:
\(r:\,\left\lbrace\begin{array}{r}2x+y-4z-13=0 \\[6pt]3x-2y-13z-9=0\end{array}\right.\)
A partir dels coeficients observem que els plans no són coincidents, ni paral·lels, i per tant determinen una recta. Per trobar la seva equació hem de resoldre aquest sistema de dues equacions amb tres incògnites, compatible i indeterminat. Tractem a la \(z\) com un paràmetre i resolem el sistema per a \(x\) i \(y\).
\(
\left.\begin{array}{r} 2x+y=13+4z \\[6pt] 3x-2y=9+13z \end{array}\right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad
\left\lbrace\begin{array}{l} x=5+3z \\[6pt] y=3-2z \end{array}\right.
\)
Aquestes igualtats es poden convertir facílment en les següents equacions paramètriques:
\(\left\lbrace\begin{array}{l} x=5+3\lambda \\[6pt] y=3-2\lambda \\[6pt] z=\lambda \end{array}\right. \;,\,\forall\lambda\in\mathbb{R} \)
I d'aquí obtenim l'equació vectorial:
\(r:\;(x,y,z)=(5,3,0)+\lambda(3,-2,1) \;,\,\forall\lambda\in\mathbb{R} \)
Exemple
Volem escriure la recta següent com a intersecció de dos plans:
\(\displaystyle r:\,\frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{2} \)
Podem escriure cadascuna de les tres equacions com una equació general:
\(
\displaystyle
\begin{array}{lll}
\frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{3} & \Rightarrow & 3x-2y-13=0 \\[6pt]
\frac{x-5}{2}=\frac{z+2}{2} & \Rightarrow & x-z-7=0 \\[6pt]
\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{2} & \Rightarrow & 2y-3z-8=0
\end{array}
\)
Aquestes tres equacions formen un sistema de tres equacions amb tres incògnites:
\(
\displaystyle
\left.\begin{array}{r}
3x-2y-13=0 \\[6pt]
x-z-7=0 \\[6pt]
2y-3z-8=0
\end{array}\right\rbrace
\)
Aquest sistema és compatible indeterminat. El nombre d'incògnites és \(3\) i el rang de la matriu del sistema i de la matriu ampliada és \(2\). Per tant és un sistema amb un grau de llibertat. Només necessitem dues equacions qualssevol de les tres anteriors per definir la recta \(r\) com a intersecció de dos plans.
\(
\displaystyle r:\,
\left\lbrace\begin{array}{r}
3x-2y-13=0 \\[6pt]
x-z-7=0
\end{array}\right.
\)
Nota: En un sistema d'equacions compatible indeterminat, el nombre de graus de llibertat és igual a la dimensió del conjunt solució o, equivalentment, és igual al nombre de paràmetres necessaris per caracteritzar el conjunt solució. Es pot calcular fent la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang de la matriu del sistema.
Exercici 17
Troba un punt i un vector director de la recta.
\(
\displaystyle r:\,
\left\lbrace\begin{array}{r}
x+y-z=7 \\[6pt]
3x-y+5z=13
\end{array}\right.
\)
Solució:
Per exemple:
\( P(5,2,0) \)
\( \vec{u}=(-1,2,1) \)
Exercici 18
Troba un punt i un vector director de la recta.
\(
\displaystyle r:\,
\left\lbrace\begin{array}{r}
2x+y=7 \\[6pt]
z=0
\end{array}\right.
\)
Solució:
Per exemple:
\( P(0,7,0) \)
\( \vec{u}=(1,-2,0) \)
Exercici 19
Escriu la recta \(r:\,(x,y,z)=(0,0,7)+\lambda(1,2,3)\) com a intersecció de dos plans.
Solució:
Per exemple:
\(
\displaystyle r:\,
\left\lbrace\begin{array}{r}
2x-y=0 \\[6pt]
3x-z+7=0
\end{array}\right.
\)
Exercici 20
Donada la recta:
\(
\displaystyle r:\,
\left\lbrace\begin{array}{r}
2x+3y-z=1 \\[6pt]
x+y+z-4=0
\end{array}\right.
\)
Escriu la equació general del pla que conté a la recta \(r\) i al punt \(A(2,2,3)\)
