Sigui un pla \(\pi\) d'equació general \(Ax+By+Cz+D=0\) i siguin dos punts qualssevol \(P(x_1,y_1,z_1)\) i \(Q(x_2,y_2,z_2)\) del pla, és a dir, que verifiquen:
\( \begin{array}{lll} Ax_1+By_1+Cz_1+D=0 & \Rightarrow & Ax_1+By_1+Cz_1=-D \\[6pt] Ax_2+By_2+Cz_2+D=0 & \Rightarrow & Ax_2+By_2+Cz_2=-D \end{array} \)
Amb aquests punts es pot definir el vector \(\vec{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\) que està situat sobre el pla. A partir dels coeficients \(A\), \(B\) i \(C\) de l'equació general del pla es pot definir un altre vector \(\vec{n}=(A,B,C)\). El producte escalar d'aquest dos vectors és:
\( \begin{align} \vec{n}\cdot\vec{PQ} &=(A,B,C)\cdot(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\\[6pt] &=A\,(x_2-x_1)+B\,(y_2-y_1)+C\,(z_2-z_1)\\[6pt] &=Ax_2-Ax_1+By_2-By_1+Cz_2-Cz_1\\[6pt] &=(Ax_2+By_2+Cz_2)-(Ax_1+By_1+Cz_1)\\[6pt] &=-D+D\\[6pt] &=0 \end{align} \)
El vector \(\vec{n}\) és perpendicular al vector \(\vec{PQ}\). Com que els punts \(P\) i \(Q\) són punts qualssevol del pla, el vector \(\vec{n}=(A,B,C)\) és perpendicular al pla.
El vector \(\vec{n}=(A,B,C)\) és perpendicular al pla \(\pi:\,Ax+By+Cz+D=0\) i s'anomena vector associat o vector normal a \(\pi\).
Exercici 13
Troba una equació vectorial de la recta que passa pel punt \(P(1,2,3)\) i és perpendicular al pla \(\pi:\,2x-5y+4z+3=0\).
| Solució: |
Exercici 14
Troba la equació general del pla que passa pel punt \(P(6,2,0)\) i és perpendicular a la recta:
\(\displaystyle r:\,\frac{x+2}{3}=\frac{3-y}{2}=\frac{z-4}{2}\)
| Solució: |
Exercici 16
Troba l'equació general i la vectorial del pla que passa pel punt \(P(4,2,-3)\) i és perpendicular a l'eix \(OY\).