Equació del pla a l'espai

Equació del pla a l'espai

Un pla a l'espai queda determinat per la seva orientació i un punt. Per expressar-ne l'orientació es necessiten dos vectors linealment independents.

L'equació d'un pla a l'espai és la relació que han de verificar les coordenades \(\left(x,y,z\right)\) de tots els punts del pla.

Equació vectorial

Sigui \(P(x_0,y_0,z_0)\) un punt qualsevol d'un pla \(\pi\) i siguin \(\vec{u}=\left(u_x,u_y,u_z\right)\) i \(\vec{v}=\left(v_x,v_y,v_z\right)\) dos vectors linealment independents amb direccions del pla, aleshores les coordenades d'un punt genèric \(X(x,y,z)\) del pla verifiquen la següent equació:

\(\vec{OX}=\vec{OP}+\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v}\,,\quad\forall\lambda,\,\mu\in\mathbb{R}\)

O, equivalentment:

\((x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda\,(u_x,u_y,u_z)+\mu\,(v_x,v_y,v_z)\,,\quad\forall\lambda,\,\mu\in\mathbb{R}\)

Equacions paramètriques

Les equacions paramètriques d'un pla a l'espai són les tres equacions que s'obtenen quan s'igualen els components de l'equació vectorial:

\( \left\lbrace\begin{array}{l} x=x_0+\lambda\,u_x+\mu\,v_x \\ y=y_0+\lambda\,u_y+\mu\,v_y \\ z=z_0+\lambda\,u_z+\mu\,v_z \end{array}\right. \,,\quad\forall\lambda,\,\mu\in\mathbb{R} \)

Equació general o cartesiana o implícita

De l'equació vectorial s'obté:

\( \begin{align} \vec{OX}=\vec{OP}+\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v} \quad & \Rightarrow\quad \vec{OX}-\vec{OP}=\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v} \\ & \Rightarrow\quad \vec{PX}=\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v} \\ & \Rightarrow\quad \vec{PX},\vec{u},\vec{v} \quad\mathsf{v.l.d.} \\ & \Rightarrow\quad \bigg[\vec{PX},\vec{u},\vec{v}\bigg]=0 \end{align} \)

Si el punt \(X\) pertany al pla aleshores els vectors \(\vec{PX}\), \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) són linealment dependents i el determinant format pels tres vectors ha de ser igual a zero.

\( \left|\begin{array}{ccc} x-x_0 & u_x & v_x \\ y-y_0 & u_y & v_y \\ z-z_0 & u_z & v_z \end{array}\right| = 0 \quad\Rightarrow\quad Ax+By+Cz+D=0 \)

Per passar de l'equació general a l'equació vectorial o a les paramètriques , s'aïlla la \(x\), la \(y\) o la \(z\) i es consideren les altres dues variables com a paràmetres \(\lambda\) i \(\mu\). Per exemple, si \(A\ne0\):

\( \displaystyle \begin{align} Ax+By+Cz+D=0 \quad &\Rightarrow\quad x=-\frac{D}{A}-\frac{By}{A}-\frac{Cz}{A} \\[6pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=-\frac{D}{A}-\frac{B}{A}\lambda-\frac{C}{A}\mu\\y=\lambda\\z=\mu\end{array}\right. \\[6pt] &\Rightarrow\quad \left(x,y,z\right)=\left(-\frac{D}{A},0,0\right)+\lambda\left(-\frac{B}{A},1,0\right)+\mu\left(-\frac{C}{A},0,1\right) \end{align} \)

Com que \(A\ne0\), es poden multiplicar els dos vectors orientadors per \(A\).

\(\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(-\frac{D}{A},0,0\right)+\lambda\left(-B,A,0\right)+\mu\left(-C,0,A\right)\)

Equació canònica

L'equació canònica es troba a partir de l'equació general i només existeix quan els quatre coeficients \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) són tots diferents de zero.

\( \displaystyle \begin{align} Ax+By+Cz+D=0 \quad &\Rightarrow\quad Ax+By+Cz=-D \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{Ax}{-D}+\frac{By}{-D}+\frac{Cz}{-D}=1 \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{x}{\frac{-D}{A}}+\frac{y}{\frac{-D}{B}}+\frac{z}{\frac{-D}{C}}=1 \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{x}{l}+\frac{y}{m}+\frac{z}{n}=1 \end{align} \)

L'equació canònica ens determina les tres interseccions del pla amb els eixos de coordenades. La intersecció amb l'eix \(OX\) és \((l,0,0)\), amb l'eix \(OY\) és \((0,m,0)\) i amb l'eix \(OZ\) és \((0,0,n)\).

Observacions:

• Si els vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) fossin linealment dependents, tindrien la mateixa direcció i determinarien una recta, no un pla.

• Hi ha diferents expressions per a l'equació vectorial o per a les equacions paramètriques d'un mateix pla. Depenen del punt \(P\) i dels vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) escollits.

• Per a un mateix pla l'expressió de l'equació canònica no és única, però les diferents expressions només difereixen en un factor \(k\ne0\) constant.