Angle entre rectes i plans

Angle entre dues rectes

A l'espai, dues rectes \(r\) i \(s\) determinen un angle que es determina de la següent manera:

A la pràctica es fa servir l'expressió per calcular l'angle, \(\alpha\), que formen els vectors directors de les dues rectes. Si aquests vectors s'anomenen \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), aleshores:

\( \alpha=\arccos\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\,\left|\vec{v}\right|} \).

Per garantir que \( 0^{\circ} \le \alpha \le 90^{\circ} \), s'afegeix un valor absolut al producte escalar dels dos vectors.

\( \alpha=\arccos\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\,\left|\vec{v}\right|} \)

Angle entre dos plans

Dos plans a l'espai determinen un angle que es defineix de la següent manera:

A la pràctica per calcular l'angle, \(\alpha\), que formen els dos plans es calcula l'angle que formen els vectors normals, \(\vec{n_1}\) i \(\vec{n_2}\), dels dos plans afegint un valor absolut al producte escalar dels dos vectors per garantir que \( 0^{\circ} \le \alpha \le 90^{\circ} \).

\( \alpha=\arccos\dfrac{\left|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right|\,\left|\vec{n_2}\right|}\)

Angle entre una recta i un pla

Una recta \(r\) i un pla \(\pi\) de l'espai determinen un angle que es defineix de la següent manera:

Aquest angle és el complementari de l'angle que formen la recta amb una recta perpendicular al pla. Per tant, si \(\vec{v}\) és un vector director de la recta i \(\vec{n}\) és un vector normal al pla, aleshores:

\(\alpha=90^{\circ}-\arccos\dfrac{\left|\vec{v}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{v}\right|\,\left|\vec{n}\right|}=\arcsin\dfrac{\left|\vec{v}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{v}\right|\,\left|\vec{n}\right|}\)

Exercici 52

Troba l'angle determinat pel plans

\( \begin{array}{l} \pi_1:3x-y+2z+1=0 \\[6pt] \pi_2:2x+y-5z-1=0 \end{array} \)

Solució: