Angle entre rectes i plans

Angle entre dues rectes

A l'espai, dues rectes \(r\) i \(s\) determinen un angle que es determina de la següent manera:

• Si les dues rectes són coincidents o paral·leles formen un angle de \(0^{\circ}\).

• Si les dues rectes són secants, determinen quatre angles iguals dos a dos. Es defineix l'angle entre les dues rectes com el menor d'aquest angles.

• Si les dues rectes es creuen, l'angle entre elles és el més petit dels angles que forma la paral·lela a una de les rectes que talli a l'altra.

A la pràctica es fa servir l'expressió per calcular l'angle, \(\alpha\), que formen els vectors directors de les dues rectes. Si aquests vectors s'anomenen \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), aleshores:

\( \alpha=\arccos\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\,\left|\vec{v}\right|} \).

Per garantir que \( 0^{\circ} \le \alpha \le 90^{\circ} \), s'afegeix un valor absolut al producte escalar dels dos vectors.

\( \alpha=\arccos\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\,\left|\vec{v}\right|} \)

Angle entre dos plans

Dos plans a l'espai determinen un angle que es defineix de la següent manera:

• Si els dos plans són coincidents o paral·lels formen un angle de \(0^{\circ}\).

• Si els plans són secants, aleshores determinen quatre angles diedres, iguals dos a dos. Es defineix l'angle entre els dos plans com el més petit d'aquests angles.

A la pràctica per calcular l'angle, \(\alpha\), que formen els dos plans es calcula l'angle que formen els vectors normals, \(\vec{n_1}\) i \(\vec{n_2}\), dels dos plans afegint un valor absolut al producte escalar dels dos vectors per garantir que \( 0^{\circ} \le \alpha \le 90^{\circ} \).

\( \alpha=\arccos\dfrac{\left|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right|\,\left|\vec{n_2}\right|}\)

Angle entre una recta i un pla

Una recta \(r\) i un pla \(\pi\) de l'espai determinen un angle que es defineix de la següent manera:

• Si la recta està continguda o és paral·lela al pla formen un angle de \(0^{\circ}\).

• Si la recta i el pla són secants, aleshores es defineix l'angle entre la recta i el pla com l'angle que forma la recta amb la seva projecció ortogonal sobre el pla.

Aquest angle és el complementari de l'angle que formen la recta amb una recta perpendicular al pla. Per tant, si \(\vec{v}\) és un vector director de la recta i \(\vec{n}\) és un vector normal al pla, aleshores:

\(\alpha=90^{\circ}-\arccos\dfrac{\left|\vec{v}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{v}\right|\,\left|\vec{n}\right|}=\arcsin\dfrac{\left|\vec{v}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{v}\right|\,\left|\vec{n}\right|}\)