Per calcular la distància entre dos plans \(\pi_1\) i \(\pi_2\) qualssevol, s'ha de prendre en compte la seva posició relativa:
Si els plans són coincidents o secants, la distància entre ells és zero.
\(\text{d}(\pi_1,\pi_2)=0\)
Si els plans són paral·lels, la distància entre ells es calcula prenent un punt qualsevol d'un pla i calculant la distància entre aquest punt i l'altre pla.
\(\text{d}(\pi_1,\pi_2)=\text{d}(P_1,\pi_2)\;\) amb \(\;P_1\in\pi_1\)
Exercici 47
Calcula la distància entre els plans
\(\pi_1: 4x-3y+6z-12=0 \\[6pt] \pi_2: (x,y,z)=(3,0,2)+\lambda(0,4,2)+\mu(3,4,0) \)
Analitza'n prèviament la posició relativa.
| Solució: |
Exercici 48
La distància entre els plans \(\pi_1: 3x+4y-12z+8=0\) i \(\pi_2: 3x+4y-12z+D=0\) és igual a \(5\mathsf{\,u}\). Calcula el valor de \(D\).
| Solució: |
Si els plans paral·lels estan expressats de la següent manera
\( \pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0 \\ \pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0 \)
aleshores també es pot calcular la distància entre els dos plans paral·lels amb la fórmula:
\( \text{d}(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \)
Exercici 49
Troba la distancia entre els plans paral·lels:
\(\pi_1:3x+4y+12z+10=0 \\[8pt] \pi_2:3x+4y+12z-16=0\)
| Solució: |
Per calcular la distància entre una recta \(r\) i una pla \(\pi\) qualssevol, s'ha de prendre en compte la seva posició relativa:
Si la recta és secant al pla o està continguda al pla, la distància entre ells és zero.
\(\text{d}(r,\pi)=0\)
Si la recta i el pla són paral·lels, la distància entre ells es calcula prenent un punt qualsevol de la recta i calculant la distància entre aquest punt i el pla.
\(\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi)\;\) amb \(\;P\in r\)
Exercici 50
Comprova que la recta
\(r: (x,y,z)=(1,2,-1)+\lambda(-3,2,0)\)
és paral·lela al pla \(\pi: 2x+3y+2z-6=0\). Troba després la distància entre la recta \(r\) i el pla \(\pi\).
| Solució: |
Per calcular la distància entre dues rectes \(r\) i \(s\) qualssevol, s'ha de prendre en compte la seva posició relativa:
Si les rectes són coincidents o secants, la distància entre elles és zero.
\(\text{d}(r,s)=0\)
Si les rectes són paral·leles, la distància entre elles es calcula prenent un punt qualsevol d'una recta i calculant la distància entre aquest punt i l'altra recta.
\(\text{d}(r,s)=\text{d}(P,s)\;\) amb \(\;P\in r\)
Si les rectes es creuen, aleshores existeix una única recta \(t\) perpendicular a la vegada a \(r\) i \(s\) i que, a més, té un punt d'intersecció amb cadascuna de les rectes. La distància entre aquests dos punts, \(M\) i \(N\), és la distància entre les dues rectes.
\(\text{d}(r,s)=\text{d}(M,N)\;\) amb \(\left\lbrace\begin{array}{r} M = r \cap t \\[4pt] N = s \cap t \end{array}\right. \)
Aquesta distància es pot calcular de la següent manera. El valor absolut del producte mixt dels vectors \(\vec{PQ}\), \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) és igual al volum del paral·lelepípede que determinen. Aquest volum també es pot calcular multiplicant, l'àrea de la base \(\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|\) per l'altura, que coincideix amb la distància entre les dues rectes.
\( \left|\left[ \vec{PQ}, \vec{u}, \vec{v} \right]\right| = \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| \cdot \mathrm{d}(r,s) \quad\Rightarrow\quad \bbox[15px,border:1px solid]{\mathrm{d}(r,s) = \dfrac{\left|\left[ \vec{PQ}, \vec{u}, \vec{v} \right]\right|}{\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|}} \)
Exercici 51
Troba la distància entre les rectes
\( \begin{array}{l} r:\dfrac{x+8}{2}=\dfrac{y-10}{3}=z-6 \\[6pt] s:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{4} \end{array} \)
| Solució: |