La distància d'un punt \(P\left(x_P,y_P,_P\right)\) a un pla \(\pi\) és la menor distància entre aquest punt i un punt del pla.
\(\displaystyle \text{d}(P,\pi)=\min_{Q \in \pi} \text{d}(P,Q)\)
Sigui \(r\) la recta perpendicular a \(\pi\) que passa per \(P\) i sigui \(P'\) la intersecció entre el pla \(\pi\) i la recta \(r\). Aquest punt \(P'\) s'anomena projecció del punt \(P\) sobre el pla \(\pi\) i verifica que \(\text{d}(P,\pi)=\text{d}(P,P')\).
\(\displaystyle \text{d}(P,\pi)=\frac{\left|Ax_P+By_P+Cz_P+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
Exercici 44
El pla \(\pi:\, x+2y-2z+D=0\) es troba a una distància \(\text{d}=5\) de l'origen de coordenades. Calcula el valor de \(D\).
| Solució: |
Exercici 45
Quina és la distància entre el punt \(P(1,3,1)\) i el pla que conté la recta \(r:\, \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{3}\) i el punt \(Q(0,1,0)\)?
| Solució: |
Exercici 46
Troba una expressió per calcular la distància del pla \(\pi:\, Ax+By+Cz+D=0\) a l'origen de coordenades.
| Solució: |