En Geometria, la distància d'un punt \(P\) a una recta \(r\) és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta.
\(\displaystyle \text{d}(P,r)=\min_{Q \in r} \text{d}(P,Q)\)
Sigui \(\pi\) el pla perpendicular a \(r\) que passa per \(P\) i sigui \(P'\) la intersecció entre el pla \(\pi\) i la recta \(r\). Aquest punt \(P'\) s'anomena projecció del punt \(P\) sobre la recta \(r\) i verifica que \(\text{d}(P,r)=\text{d}(P,P')\).
Exemple
Volem calcular la distància entre el punt \(P(5,1,3)\) i la recta \(r:\,(x,y,z)=(1+3\lambda,\lambda,3+\lambda)\). Primer calculem l'equació del pla \(\pi\) perpendicular a la recta \(r\) i que conté el punt \(P\).
\(\displaystyle \begin{array}{lll} \vec{n}_{\pi}=\vec{v}_r=\left(3,1,1\right) & \Rightarrow & \pi:\,3x+y+z+D=0 \\[6pt] P(5,1,3)\in \pi & \Rightarrow & \pi:\,3x+y+z-19=0 \end{array} \)
Ara trobem la intersecció \(P'\) del pla \(\pi\) amb la recta \(r\).
\(\displaystyle 3(1+3\lambda)+(\lambda)+(3+\lambda)-19=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{13}{11} \quad\Rightarrow\quad P'\left( \frac{50}{11}, \frac{13}{11}, \frac{46}{11} \right) \)
I, per últim:
\(\displaystyle \text{d}(P,r)=\text{d}(P,P') =\sqrt{\left(\frac{50}{11}-5\right)^2+\left(\frac{13}{11}-1\right)^2+\left(\frac{46}{11}-3\right)^2} =\frac{3\,\sqrt{22}}{11} \)
Si es coneix un punt \(Q\) i un vector director \(\vec{v}\) de la recta \(r\), aleshores la distància entre la recta \(r\) i el punt \(P\) ve donada per:
\(\displaystyle \text{d}(P,r) =\left|\vec{QP}\right| \cdot \sin \alpha =\frac{\left|\vec{v}\right| \cdot \left|\vec{QP}\right| \cdot \sin \alpha}{\left|\vec{v}\right|} =\frac{\left|\vec{QP}\times\vec{v}\right|}{\left|\vec{v}\right|} \)
Exercici 40
Calcula la distància del punt \(P(2,-3,-1)\) a la recta \(r:\,(x,y,z)=(1,-2,1)+\lambda(2,1,-3)\)
| Solució: |
Exercici 41
Calcula la distància del punt \(P(-1,-3,-1)\) a la recta:
\(r:\,\left\lbrace\begin{array}{l} 4x-3y-5=0 \\ y+2z+5=0 \end{array}\right.\)
| Solució: |
Exercici 42
Siguin la recta \(r:\,(x,y,z)=(0,1,-2)+\lambda(2,0,-1)\) i el punt \(P(1,0,-1)\).
Troba una expressió que et doni la distància \(\text{d}\) entre aquest punt \(P\) i un punt qualsevol de la recta \(r\) en funció del paràmetre \(\lambda\).
| Solució: |
I calcula la distància entre \(P\) i \(r\) buscant el valor de \(\lambda\) que faci mínima la funció \(f\left(\lambda\right) = \left[\text{d}\left(\lambda\right)\right]^2\).
| Solució: |