Equació de la recta a l'espai

Equació de la recta a l'espai

Una equació d'una recta en l'espai és una relació que verifiquen les coordenades \(\left(x,y,z\right)\) de tots els punts de la recta.

Equació vectorial

Sigui \(P(x_0,y_0,z_0)\) un punt qualsevol d'una recta \(r\) i sigui \(\vec{v}=\left(v_x,v_y,v_z\right)\) un vector director de la recta, aleshores les coordenades d'un punt genèric \(X(x,y,z)\) de la recta verifiquen la següent equació:

\(\vec{OX}=\vec{OP}+\lambda\,\vec{v}\,,\quad\forall\lambda\in\mathbb{R}\)

O, equivalentment:

\((x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda\,(v_x,v_y,v_z)\,,\quad\forall\lambda\in\mathbb{R}\)

Equacions paramètriques

Les equacions paramètriques d'una recta a l'espai són les tres equacions que s'obtenen quan s'igualen els components de l'equació vectorial:

\( \left\lbrace\begin{array}{c} x=x_0+\lambda\,v_x \\ y=y_0+\lambda\,v_y \\ z=z_0+\lambda\,v_z \end{array}\right. \,,\quad\forall\lambda\in\mathbb{R} \)

Equacions contínues

Si de cadascuna de les equacions paramètriques s'aïlla \(\lambda\), s'obté:

\( \displaystyle \lambda=\frac{x-x_0}{v_x} \,,\quad \lambda=\frac{y-y_0}{v_y} \,,\quad \lambda=\frac{z-z_0}{v_z} \)

Si s'igualen aquestes expressions:

\(\displaystyle\frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}\)

Aquestes igualtats s'anomenen equacions contínues de la recta

Observacions:

• El punt \(P(x_0,y_0,z_0)\) és un punt qualsevol de la recta i el vector director \(\vec{v}=\left(v_x,v_y,v_z\right)\) és un vector qualsevol amb la mateixa direcció de la recta. Per tant les expressions de les equacions vectorial, paramètriques i contínues no són úniques.

• El vector nul no determina cap direcció i, per tant, no pot ser mai el vector director d'una recta.

• En geometria del pla l'equació contínua d'una recta consistia en només una igualtat. En geometria de l'espai les igualtats són més d'una. Per això es fa servir el plural en l'expressió equacions contínues d'una recta a l'espai.

• A partir d'un punt \(P(x_0,y_0,z_0)\) i un vector director \(\vec{v}=\left(v_x,v_y,v_z\right)\) es poden escriure directament l'equació vectorial, les equacions paramètriques i, també, les equacions contínues.