\({f(x)=\arctan x}\)

En trigonometria, l'arctangent d'una quantitat \(x\) es defineix com l'angle \(\alpha\) la tangent del qual és \(x\).

\( \arctan x = \alpha \quad\Leftrightarrow\quad \tan \alpha = x \)

Amb només aquesta definició l'arctangent no es pot considerar una funció perquè està multivaluat. Això és degut a que la funció tangent genera múltiples antiimatges per a qualsevol valor real.

 Aplicar restricció del domini  Veure la funció \(\arctan x\)

Per eliminar la multivaluació es pot aplicar una restricció al domini de la funció tangent. Per convenció es tria l'interval obert \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Amb aquesta restricció la funció arctangent, ara sí, està definida i és la funció inversa de la funció tangent.

\( \tan(\arctan x) = x \)

\( \arctan(\tan x) = x \)

Propietats de la funció \(f(x)=\arctan x\)

  • \(\displaystyle\mathrm{Dom} f(x) = \mathbb{R} \).
  • \(\displaystyle\mathrm{Rec} f(x) = \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \).
  • Talla als eixos de coordenades en el punt \((0,0)\).
  • És una funció imparella.
  • És contínua en tot \(\mathbb{R}\).
  • És creixent en tot \(\mathbb{R}\).
  • La gràfica de la funció \(f(x)=\arctan x\) és simètrica a la de la funció \(f(x)=\tan x\) respecte a la bisectriu del primer i tercer quadrant.
  • \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= \frac{\pi}{2}\).
  • \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\frac{\pi}{2}\).