\({f(x)=\arcsin x}\)

En trigonometria, l'arcsinus d'una quantitat \(x\) es defineix com l'angle \(\alpha\) el sinus del qual és \(x\).

\( \arcsin x = \alpha \quad\Leftrightarrow\quad \sin \alpha = x \)

Amb només aquesta definició l'arcsinus no es pot considerar una funció perquè està multivaluat. Això és degut a que la funció sinus genera múltiples antiimatges per a qualsevol valor del seu recorregut.

 Aplicar restricció del domini  Veure la funció \(\arcsin x\)

Per eliminar la multivaluació es pot aplicar una restricció al domini de la funció sinus. Per convenció es tria l'interval tancat \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Amb aquesta restricció la funció arcsinus, ara sí, està definida i és la funció inversa de la funció sinus.

\( \sin(\arcsin x) = x \)

\( \arcsin(\sin x) = x \)

Propietats de la funció \(f(x)=\arcsin x\)

  • \(\displaystyle\mathrm{Dom} f(x) = \left[-1,1\right] \).
  • \(\displaystyle\mathrm{Rec} f(x) = \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \).
  • És una funció imparella.
  • Talla als eixos de coordenades en el punt \((0,0)\).
  • És contínua en tots els punts del seu domini.
  • És creixent en tots els punts del seu domini.
  • Té un màxim absolut en \(\displaystyle\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\) i un mínim absolut en \(\displaystyle\left(-1,-\frac{\pi}{2}\right)\).
  • La gràfica de la funció \(f(x)=\arcsin x\) és simètrica a la de la funció \(f(x)=\sin x\) respecte a la bisectriu del primer i tercer quadrant.