\({f(x)=\arccos x}\)

En trigonometria, l'arccosinus d'una quantitat \(x\) es defineix com l'angle \(\alpha\) el cosinus del qual és \(x\).

\( \arccos x = \alpha \quad\Leftrightarrow\quad \cos \alpha = x \)

Amb només aquesta definició l'arccosinus no es pot considerar una funció perquè està multivaluat. Això és degut a que la funció cosinus genera múltiples antiimatges per a qualsevol valor del seu recorregut.

 Aplicar restricció del domini  Veure la funció \(\arccos x\)

Per eliminar la multivaluació es pot aplicar una restricció al domini de la funció cosinus. Per convenció es tria l'interval tancat \(\left[0,\pi\right]\). Amb aquesta restricció la funció arccosinus, ara sí, està definida i és la funció inversa de la funció cosinus.

\( \cos(\arccos x) = x \)

\( \arccos(\cos x) = x \)

Propietats de la funció \(f(x)=\arccos x\)

  • \(\displaystyle\mathrm{Dom} f(x) = \left[-1,1\right] \).
  • \(\displaystyle\mathrm{Rec} f(x) = \left[0,\pi\right] \).
  • Talla a l'eix d'abscisses en el punt \((1,0)\).
  • Talla a l'eix d'ordenades en el punt \((0,\frac{\pi}{2})\).
  • És contínua en tots els punts del seu domini.
  • És decreixent en tots els punts del seu domini.
  • Té un màxim absolut en \(\displaystyle\left(-1,\pi\right)\) i un mínim absolut en \(\displaystyle\left(1,0\right)\).
  • La gràfica de la funció \(f(x)=\arccos x\) és simètrica a la de la funció \(f(x)=\cos x\) respecte a la bisectriu del primer i tercer quadrant.