La notació per a les derivades que hem fet servir va ser introduïda a finals del segle XVIII pel matemàtic, físic i astrònom Joseph Louis Lagrange. Donada una funció \(f(x)\), \(f'(x)\) designa la seva primera derivada. \(f''(x)\) i \(f'''(x)\) designen la segona i la tercera derivada respectivament. Les següents derivades es designen amb \(f^{(4)}(x)\), \(f^{(5)}(x)\), \(f^{(6)}(x)\), i així succesivament, tot i que de vegades es representen amb \(f^{\mathrm{iv}}(x)\), \(f^{\mathrm{v}}(x)\), \(f^{\mathrm{vi}}(x)\), etc.
La notació de Leibniz va ser introduïda al segle XVII pel filòsof i matemàtic alemany Gottfried Wilhelm Leibniz. Fa servir expressions com \(\mathrm{d}x\) i \(\mathrm{d}y\), anomenades diferencial de \(x\) i diferencial de \(y\), per a representar increments infinitesimalment petits de les quantitats \(x\) i \(y\) i distingir-los dels increments finits \(\Delta x\) i \(\Delta y\).
Amb aquesta notació la derivada d'una funció \(y=f(x)\) es pot escriure com:
\(\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}= \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} \)
O també:
\(\displaystyle f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \)
I las derivades successives:
\(\displaystyle \begin{array}{llll} f''(x) &=\frac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}&=\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}&=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \\[6pt] f'''(x)&=\frac{\mathrm{d}^3f(x)}{\mathrm{d}x^3}&=\frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}&=\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3} \\[6pt] \cdots \end{array} \)
Diferencial d'una funció en un punt
El càlcul infinitesimal va ser desenvolupat de manera simultània al segle XVII per Newton i Leibniz. Els matemàtics posteriors, sobre tot Cauchy i Weierstrass, van veure que el concepte d'infinitesimal contenia certes contradiccions lògiques i van trobar altres formes lògicament més rigoroses de definir les derivades fent servir límits. Tot i això es va continuar fent servir la notació de Leibniz degut a que resulta intuïtiva, a que és clara quan es treballa amb funcions de vàries variables, a que facilita l'anàlisi dimensional en Ciències.
Una vegada definida la derivada d'una funció es pot definir ara sí la diferencial d'una funció en un punt com:
\(\mathrm{d}f(x)=f'(x)\cdot\mathrm{d}x\)
La notació de Newton va ser introduïda al segle XVII pel físic, matemàtic i filòsof anglès Issac Newton. Amb la seva notació la derivada es designa amb un punt damunt del nom de la funció. Aquesta notació avui en dia es fa servir principalment a Física per a derivades respecte al temps per distingir-les de les derivades respecte a la posició.
\(\displaystyle \begin{array}{llll} \dot{x} &=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\[6pt] \ddot{x}&=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} \end{array} \)