MATES 2BATX. Derivades.

Amb un filferro d'1 m volem construir la vora d'un rectangle d'àrea màxima. Quines dimensions hem de donar al rectangle?

Hem de maximitzar l'àrea \(A(b,h)=b \cdot h\), que és una funció de dues variables sotmeses a una restricció, el perímetre ha de ser igual a \(1\).

\(\displaystyle P=1 \quad\Rightarrow\quad 2b+2h=1 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{1}{2}-b\)

Amb aquesta restricció, ara podem escriure la funció com una funció d'una variable

\(\displaystyle A(b)=b\cdot\left(\frac{1}{2}-b\right)=\frac{b}{2}-b^2\)

i de domini:

\(\text{Dom} A(b)=\left[ 0,\frac{1}{2} \right) \)

Trobem els punts estacionaris d'aquesta funció derivant i igualant a zero.

\(\displaystyle A'(b)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}-2b=0 \quad\Rightarrow\quad b=\frac{1}{4} \)

I classifiquem aquest punt estacionari calculant la segona derivada i substituint.

\(\displaystyle A''(b)=-2 \quad\Rightarrow\quad A''\left(\frac{1}{4}\right)=-2\lt0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Màx} \)

Les dimensions del rectangle que maximitzen l'àrea són:

\(\displaystyle \begin{array}{l}b=\frac{1}{4}\,\text{m}=\text{0,25 m}\\ h=\frac{1}{4}\,\text{m}=\text{0,25 m} \end{array}\)

Exercici 2

Tenim un segment de longitud 1 dm que es divideix en dues parts que ha de servir de base a sengles rectangles. En un dels rectangles, l'altura és el doble de la base, mentre que en l'altre l'altura és el triple de la base. Determina el punt de divisió de manera que la suma de les seves àrees sigui mínima.

Exercici 3

La part escrita de la pàgina d'un llibre ocupa 200 cm²; els marges superior i inferior són de 3 cm cadascun i els marges laterals, de 2 cm. Quines han de ser les dimensions de la pàgina per aconseguir la màxima economia de paper?

Exercici 4

Es volen fabricar llaunes de begudes cilíndriques de 330 cm³ de capacitat. Quines han de ser les dimensions per tal que s’utilitzi el mínim de metall possible?

Exercici 5

Troba les dimensions del cilindre de volum màxim que es pot inscriure en un con de radi 25 cm i altura 50 cm. Quin és aquest volum màxim?

Optimització

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5