Monotonia, curvatura, punts estacionaris i punts d'inflexió

Exercici 1

Donada la funció \(f(x)=x^3-3x^2+5\),

1. troba els intervals de creixement i de decreixement

   Solució:

   \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \left(-\infty,0\right) & 0 & \left(0,2\right) & 2 & \left(2,+\infty\right) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \mathrm{Màx.} & \searrow & \mathrm{Mín.} & \nearrow \end{array}\)

2. i troba els intervals de concavitat i de convexitat.

   Solució:

   \( \begin{array}{c|c|c|c} x & \left(-\infty,1\right) & 1 & \left(1,+\infty\right) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \frown & \mathrm{P.I.} & \smile \end{array}\)

Exercici 2

Donada la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}\),

1. troba els intervals de creixement i de decreixement

   Solució:

   \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & \left(-\infty,0\right) & 0 & \left(0,1\right) & 1 & \left(1,2\right) & 2 & \left(2,+\infty\right) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \mathrm{Màx.} & \searrow & \nexists & \searrow & \mathrm{Mín.} & \nearrow \end{array}\)

2. i troba els intervals de concavitat i de convexitat.

   Solució:

   \( \begin{array}{c|c|c|c} x & \left(-\infty,1\right) & 1 & \left(1,+\infty\right) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ f(x) & \frown & \mathrm{P.I.} & \smile \end{array}\)