Derivabilitat

Exercici 1

Donada la funció:

$\displaystyle f(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} x+1 & \mathrm{si} & x \le 1 \\ x^2-x+2 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right.$

1. Demostra que és una funció contínua $\forall x \in \mathbb{R}$.

   Solució:

   Les dues expressions algebraiques que defineixen la funció $f(x)$ són funcions polinòmiques i per tant són contínues. Només cal veure que la funció a més és contínua en $x=1$.

   $\displaystyle \left.\begin{array}{l} f(1)=2 \\ f(1^{-}) = \displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} \left( x+1 \right) = 2 \\ f(1^{+}) = \displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \left( x^2-x+2 \right) = 2 \\ \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad f(1) = f(1^{-}) = f(1^{+})$

   Per tant $f(x)$ és contínua en $x=1$.

2. Demostra que és una funció derivable $\forall x \in \mathbb{R}$. Determina $f'(x)$

   Solució:

   Les dues expressions algebraiques que defineixen la funció $f(x)$ són funcions polinòmiques i per tant són derivables.

   $\displaystyle f'(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} 1 & \mathrm{si} & x \lt 1 \\ 2x-1 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right.$

   Només falta estudiar si $f(x)$ és derivable també en $x=1$.

   $\displaystyle \left.\begin{array}{l} f'(1^{-}) = 1 \\ f'(1^{+}) = 2 \cdot 1-1 = 1 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad f'(1^{-}) = f'(1^{+})$

   Això vol dir que $f(x)$ és derivable en $x=1$ i, per tant, és derivable $\forall x \in \mathbb{R}$. La seva derivada és:

   $\displaystyle f'(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} 1 & \mathrm{si} & x \le 1 \\ 2x-1 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right.$

3. Demostra que $f'(x)$ no és derivable en $x=1$

   Solució:

   Si derivem la funció $f'(x)$ obtenim:

   $\displaystyle f''(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} 0 & \mathrm{si} & x \lt 1 \\ 2 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right.$

   I en $x=1$.

   $\displaystyle \left.\begin{array}{l} f''(1^{-}) = 0 \\ f''(1^{+}) = 2 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad f''(1^{-}) \ne f''(1^{+})$

   Per tant $f'(x)$ no és derivable en $x=1$.

Exercici 2

Donada la funció:

$\displaystyle f(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} ax^2+c & \mathrm{si} & x \le 1 \\ x^2-4x+5 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right.$

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ que fan que $f(x)$ sigui derivable en $x=1$.

Aquesta obra està subjecta a una llicència de Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual 3.0 de Creative Commons