Derivabilitat

Exercici 1

Donada la funció:

\( \displaystyle f(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} x+1 & \mathrm{si} & x \le 1 \\ x^2-x+2 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right. \)

1. Demostra que és una funció contínua \(\forall x \in \mathbb{R}\).

   Solució:

   Les dues expressions algebraiques que defineixen la funció \(f(x)\) són funcions polinòmiques i per tant són contínues. Només cal veure que la funció a més és contínua en \(x=1\).

   \( \displaystyle \left.\begin{array}{l} f(1)=2 \\ f(1^{-}) = \displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} \left( x+1 \right) = 2 \\ f(1^{+}) = \displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \left( x^2-x+2 \right) = 2 \\ \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad f(1) = f(1^{-}) = f(1^{+}) \)

   Per tant \(f(x)\) és contínua en \(x=1\).

2. Demostra que és una funció derivable \(\forall x \in \mathbb{R}\). Determina \(f'(x)\)

   Solució:

   Les dues expressions algebraiques que defineixen la funció \(f(x)\) són funcions polinòmiques i per tant són derivables.

   \( \displaystyle f'(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} 1 & \mathrm{si} & x \lt 1 \\ 2x-1 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right. \)

   Només falta estudiar si \(f(x)\) és derivable també en \(x=1\).

   \( \displaystyle \left.\begin{array}{l} f'(1^{-}) = 1 \\ f'(1^{+}) = 2 \cdot 1-1 = 1 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad f'(1^{-}) = f'(1^{+}) \)

   Això vol dir que \(f(x)\) és derivable en \(x=1\) i, per tant, és derivable \(\forall x \in \mathbb{R}\). La seva derivada és:

   \( \displaystyle f'(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} 1 & \mathrm{si} & x \le 1 \\ 2x-1 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right. \)

3. Demostra que \(f'(x)\) no és derivable en \(x=1\)

   Solució:

   Si derivem la funció \(f'(x)\) obtenim:

   \( \displaystyle f''(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} 0 & \mathrm{si} & x \lt 1 \\ 2 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right. \)

   I en \(x=1\).

   \( \displaystyle \left.\begin{array}{l} f''(1^{-}) = 0 \\ f''(1^{+}) = 2 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad f''(1^{-}) \ne f''(1^{+}) \)

   Per tant \(f'(x)\) no és derivable en \(x=1\).

Exercici 2

Donada la funció:

\( \displaystyle f(x) = \left\lbrace\begin{array}{cll} ax^2+c & \mathrm{si} & x \le 1 \\ x^2-4x+5 & \mathrm{si} & x \gt 1 \end{array}\right. \)

Troba els valors dels paràmetres \(a\) i \(b\) que fan que \(f(x)\) sigui derivable en \(x=1\).