Equacions de la recta tangent i de la recta normal
Exercici 1
Calcula l'equació de la recta tangent a la funció \(\displaystyle f(x) = x^2-8x+12 \) que passa pel punt d'abscissa \(x=3\).
Exercici 2
Calcula l'equació de la recta normal a la funció \(\displaystyle f(x) = x^2-5x \) en el punt d'abscissa \(x=1\).
| Solució: |
\(\displaystyle y=\frac{x-13}{3}\) |
Exercici 3
Siguin les paraboles \(f(x)=-x^2+4x-3 \) i \(g(x)=x^2+bx+c\). Troba els valors dels paràmetres \(b\) i \(c\) que fan que les dues funcions siguin tangents en el punt d'abscissa \(x=1\).
Solució:
Primer derivem les dues funcions:
\( f'(x)=-2x+4 \quad\quad g'(x)=2x+b \)
Si les dues funcions han de ser tangents en \(x=1\) aleshores:
\(
\displaystyle
\left.\begin{array}{c} f(1)=g(1) \\ f'(1)=g'(1) \end{array}\right\rbrace
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\lbrace\begin{array}{l} 0=1+b+c \\ 2=2+b \end{array}\right\rbrace
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\lbrace\begin{array}{l} b=0 \\ c=-1 \end{array}\right.
\)
Exercici 4
Calcula l'equació de la recta normal a la funció \(\displaystyle f(x) = \frac{4}{x} \) en el punt d'ordenada \(y=1\).
Exercici 5
La gràfica de la funció \(\displaystyle f(x) = \frac{3}{5}\cdot\sqrt{25-x^2} \) és una semiel·lipse.
Troba l'equació de la recta tangent i la de la recta normal en el punt d'abscissa \(x=4\).
Solució:
Primer derivem la funció:
\( \displaystyle f'(x) = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2\sqrt{25-x^2}}\cdot\left(-2x\right) = \frac{-3x}{5\sqrt{25-x^2}}\)
Calculem ara el valor de la funció i el de la derivada en \(x=4\)
\(
\displaystyle
\begin{array}{l}
f(4)=\frac{3}{5}\cdot\sqrt{25-4^2}=\frac{9}{5} \\
f'(4)=\frac{-3 \cdot 4}{5\sqrt{25-4^2}} = -\frac{4}{5}
\end{array}
\)
I ja podem calcular l'equació de la recta tangent:
\( \displaystyle y-\frac{9}{5}=-\frac{4}{5}\cdot\left(x-4\right) \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{4}{5}x+5\)
i la de la recta normal:
\( \displaystyle y-\frac{9}{5}=\frac{5}{4}\cdot\left(x-4\right) \quad\Rightarrow\quad y=\frac{5}{4}x-\frac{16}{5} \)
Exercici 6
Determina quins valor del paràmetre \(a\) fan que la recta \(y=2x+2\) sigui tangent a la funció \(\displaystyle f(x) = x^3-3x^2+2x+a \).
Solució:
Si la recta ha de ser tangent a la funció, aleshores la derivada de \(f(x)\) ha de coincidir amb el pendent de la recta \(m=2\).
\( \displaystyle f'(x) = 2 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-6x+2=2 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\[6pt]x=2\end{array}\right. \)
Si la recta ha de ser tangent a la funcio en \(x=0\) s'ha de verificar que \(f(0)\) coincideixi amb el valor \(y\) associat a \(x=0\) segons l'equació de la recta.
\( \displaystyle f(0) = 2 \cdot 0+2 \quad\Rightarrow\quad a=2 \)
Si la recta ha de ser tangent a la funcio en \(x=2\) s'ha de verificar que \(f(2)\) coincideixi amb el valor \(y\) associat a \(x=2\) segons l'equació de la recta.
\( \displaystyle f(2) = 2 \cdot 2+2 \quad\Rightarrow\quad a=6 \)
Exercici 7
Troba l'angle amb què la següent funció \(\displaystyle f(x) = \mathrm{e}^{x-1}-1 \) talla a l'eix \(OX\).
Solució:
Primer trobem el punt de tall de la funció amb l'eix \(OX\):
\( \displaystyle y=0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{e}^{x-1}-1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \)
Ara calculem la derivada:
\(\displaystyle f'(x)=\mathrm{e}^{x-1} \)
Ara fem servir que el pendent de la recta tangent en un punt coincideix amb el valor de la derivada en aquest punt i coincideix també amb la tangent de l'angle que formen la recta tangent i l'eix \(OX\):
\( \displaystyle f'(1)=\tan \alpha \quad\Rightarrow\quad 1 =\tan \alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}\)
Exercici 8
Troba l'angle amb què les següents funcions tallen a l'eix \(OX\).
| a) \(\displaystyle f(x) = \ln{x} \) |
Solució: |
\( \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}=45^{\circ} \) |
| b) \(\displaystyle f(x) = \log{x} \) |
Solució: |
\( \displaystyle \alpha = \arctan\frac{1}{\ln10} \approx 0.41 \approx 23.48^{\circ} \) |
| c) \(\displaystyle f(x) = x^3-2x^2+x-2 \) |
Solució: |
\( \displaystyle \alpha = \arctan 5 \approx 1.37 \approx 78.69^{\circ} \) |