Funció derivada

Calcula la funció derivada de:

a) \(\displaystyle f(x) = 12x^5 - 2x^3 - x^2 + 3x - 6 \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 60x^4 - 6x^2 - 2x + 3 \)
b) \(\displaystyle f(x) = 5x^4 + 6\sqrt{x} - \frac{6}{x^2}\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 20x^3 + \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{12}{x^3} \)
c) \(\displaystyle f(x) = 6\sin x - 4\cos x - 3\tan x\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 6\cos x + 4\sin x - \frac{3}{\cos^2 x}\)
d) \(\displaystyle f(x) = 6\ln x - 2\log x - \log_2 x\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \left[ 6 - \frac{2}{\ln 10} -\frac{1}{\ln 2} \right] \)
e) \(\displaystyle f(x) = 2 \cdot \mathrm{e}^x + 5^x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 2 \cdot \mathrm{e}^x + 5^x \cdot \ln 5 \)

Calcula la funció derivada de:

a) \(\displaystyle f(x) = \frac{x-3}{2x^5} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{-4x+15}{2x^6} \)
b) \(\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2x^3} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = -\frac{5}{4\sqrt{x^7}} \)
c) \(\displaystyle f(x) = 2^{3x} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 2^{3x} \cdot \ln 8 \)
d) \(\displaystyle f(x) = 3x \sin x +2x^2 \cos x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \left( 3-2x^2 \right) \sin x + 7x \cos x \)
e) \(\displaystyle f(x) = \mathrm{e}^x \cdot \tan x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \mathrm{e}^x \left( 1+\tan x+\tan^2 x \right) \)

Calcula la funció derivada de:

a) \(\displaystyle f(x) = x - 2\arctan x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} \)
b) \(\displaystyle f(x) = \frac{2x-1}{x+1} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{3}{\left( x+1 \right)^2} \)
c) \(\displaystyle f(x) = \sin\sqrt{x^2+1} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{x \cdot \cos\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \)
d) \(\displaystyle f(x) = \ln\frac{1+x}{1-x} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{2}{1-x^2} \)
e) \(\displaystyle f(x) = \sin x \cdot \cos x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x \)

Calcula la funció derivada de les funcions trigonomètriques:

a) \(\displaystyle f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} \)
b) \(\displaystyle f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \)
c) \(\displaystyle f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} \)

Calcula la funció derivada de les funcions:

a) \(\displaystyle f(x) = x + \arcsin x + \arccos x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 1 \)
b) \(\displaystyle f(x) = \left( x^2+1 \right) \cdot \arctan x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 1 + 2x \arctan x \)
c) \(\displaystyle f(x) = \mathrm{e}^x \cdot \sin x \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \mathrm{e}^x \cdot \left( \sin x + \cos x \right) \)
d) \(\displaystyle f(x) = \ln \left( x \mathrm{e}^x \right) \)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{x+1}{x} \)

Calcula la funció derivada de les funcions:

a) \(\displaystyle f(x) = \ln \left( \tan x \right)\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sin x \cos x} \)
b) \(\displaystyle f(x) = \arcsin \sqrt{x}\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x-x^2}} \)
c) \(\displaystyle f(x) = \arccos x^2\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^4}} \)
d) \(\displaystyle f(x) = \ln \left( x^2+4x+4 \right)\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{2}{x+2} \)
e) \(\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4}\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \)

Calcula la funció derivada de les funcions:

a) \(\displaystyle f(x) = \sin^2 \left( 3x^4 \right)\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = 24x^3 \cdot \sin\left( 3x^4 \right) \cdot \cos\left( 3x^4 \right)\)
b) \(\displaystyle f(x) = \ln \left( \cos x \right)\)	Solució:	\( \displaystyle f'(x) = \tan x\)