Derivada d'una funció en un punt
Exercici 1
Sigui la funció \( f(x)=x^3-2x^2+x\). Fent servir la definició de derivada en un punt calcula \(f'(2)\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(2)
&=\lim_{x \to 2}{\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 2}{\frac{x^3-2x^2+x-2}{x-2}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 2}{\frac{(x^2+1) \cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}}} \\[6pt]
&=5
\end{align}
\)
Exercici 2
Sigui la funció \( f(x)=\sqrt{x} \). Fent servir la definició de derivada en un punt calcula \(f'(4)\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(4)
&=\lim_{x \to 4}{\frac{f(x)-f(4)}{x-4}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 4}{\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 4}{\frac{(\sqrt{x}-2)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+2)}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 4}{\frac{\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}\cdot(\sqrt{x}+2)}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 4}{\frac{1}{\sqrt{x}+2}} \\[6pt]
&=\frac{1}{4}
\end{align}
\)
Exercici 3
Sigui la funció \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \). Fent servir la definició de derivada en un punt calcula \(f'(2)\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(2)
&=\lim_{x \to 2}{\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 2}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 2}{\frac{\frac{2-x}{2x}}{x-2}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 2}{\frac{2-x}{2x(x-2)}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 2}{\frac{-\cancel{(x-2)}}{2x\cancel{(x-2)}}} \\[6pt]
&=-\frac{1}{4}
\end{align}
\)
Exercici 4
Sigui la funció \( f(x)=x^5 \). Fent servir la definició de derivada en un punt calcula \(f'(-2)\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(-2)
&=\lim_{x \to -2}{\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to -2}{\frac{x^5+32}{x+2}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to -2}{\frac{\cancel{(x+2)}(x^4-2x^3+4x^2-8x+16)}{\cancel{x+2}}} \\[6pt]
&=80
\end{align}
\)
Exercici 5
Sigui la funció \( f(x)=\sqrt{x}+x \). Fent servir la definició de derivada en un punt calcula \(f'(9)\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(9)
&=\lim_{x \to 9}{\frac{f(x)-f(9)}{x-9}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 9}{\frac{\sqrt{x}+x-12}{x-9}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 9}{\left[ \frac{\sqrt{x}+(x-12)}{x-9} \cdot \frac{\sqrt{x}-(x-12)}{\sqrt{x}-(x-12)} \right]} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 9}{\frac{x-(x-12)^2}{(x-9)(\sqrt{x}-x+12)}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 9}{\frac{-x^2+25x-144}{(x-9)(\sqrt{x}-x+12)}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 9}{\frac{\cancel{(x-9)}(-x+16)}{\cancel{(x-9)}(\sqrt{x}-x+12)}} \\[6pt]
&=\frac{7}{6}
\end{align}
\)
Exercici 6
Sigui la funció \( f(x)=x^2+3x-2 \). Fent servir la definició de derivada en un punt calcula \(f'(-3)\), \(f'(0)\) i \(f'(2)\).
Solució:
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(-3)
&=\lim_{x \to -3}{\frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to -3}{\frac{x^2+3x-2-(-2)}{x+3}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to -3}{\frac{x \cancel{(x+3)}}{\cancel{x+3}}} \\[6pt]
&=3
\end{align}
\)
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(0)
&=\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 0}{\frac{x^2+3x-2-(-2)}{x}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 0}{\frac{(x+3) \cancel{x}}{\cancel{x}}} \\[6pt]
&=3
\end{align}
\)
\(
\displaystyle
\begin{align}
f'(2)
&=\lim_{x \to 2}{\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} \\[6pt]
&=\lim_{x \to 2}{\frac{x^2+3x-2-8}{x-2}} \\[6pt]
&\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 2}{\frac{(x+5) \cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}}} \\[6pt]
&=7
\end{align}
\)