MATES 2BATX. Derivades.

S'anomena derivació logarítmica a un procés que fa servir propietats dels logaritmes per calcular derivades d'una forma senzilla.

Els passos del procés de derivació logarítmica bàsicament són els següents:

Exemple

Aplicarem la derivació logarítmica per calcular la derivada de la funció $f(x)=\tan x$ :

$\displaystyle \begin{align} f(x)=\tan x \quad &\Rightarrow\quad f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \\[6pt] &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln\frac{\sin x}{\cos x} \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln(\sin x) - \ln(\cos x) \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{-\sin x}{\cos x} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \left[ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} \right] \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left[ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} \right] \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = 1 + \tan^2 x \\[6pt] \end{align}$

Derivada de la funció potencial

$\boldsymbol{f(x)=x^p}$ , amb

$\boldsymbol{p\in\mathbb{R}}$

Per calcular la derivada de la funció potencial es fa servir el mètode de derivació logarítmica.

$\displaystyle \begin{align} f(x)=x^p \quad &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln x^p \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = p \cdot \ln x \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{p}{x} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \frac{p}{x} \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = x^p \cdot \frac{p}{x} \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = p \cdot x^{p-1} \\[6pt] \end{align}$

Aquesta regla de derivació de la funció potencial va ser deduïda en un apartat anterior, però només era vàlida per a valors naturals de l'exponent, ja que feia servir nombres combinatoris.

$\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=x^p \quad\Rightarrow\quad f'(x)= p \cdot x^{p-1} \quad ,\forall p \in \mathbb{R}}$

$\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\left[u(x)\right]^p \quad\Rightarrow\quad f'(x)= p \cdot \left[u(x)\right]^{p-1} \cdot u'(x) \quad ,\forall p \in \mathbb{R}}$

Derivada del producte de dues funcions

La regla de derivació d'un producte de funcions, anomenada també Llei de Leibniz, es pot obtenir fent servir la derivació logarítmica.

$\displaystyle \begin{align} f(x)=u(x) \cdot v(x) \quad &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln u(x) + \ln v(x) \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\[6pt] \end{align}$

$\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) }$

La regla del producte es pot generalitzar a productes de més de dos factors. Per exemple per a tres factors es té:

$\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) }$

Exemple

La derivada de la funció $f(x) = \left( x^2+1 \right) \cdot \sin^2 x$ és:

$\displaystyle \begin{align} f'(x) &= 2x \cdot \sin^2 x + \left( x^2+1 \right) \cdot 2\sin x \cos x \\[6pt] &= 2 \sin x \left[ x \sin x + \left( x^2+1 \right) \cos x \right] \end{align}$

Exercici 26

Calcula la derivada de les següents funcions:

a) $\displaystyle f(x) = x \cdot \ln x$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = 1+\ln x$
b) $\displaystyle f(x) = x^3 \cdot \cos x$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = x^2 \cdot \left( 3\cos x - x\sin x \right)$
c) $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} \cdot \left( x+1 \right)$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{3x+1}{2\sqrt{x}}$
d) $\displaystyle f(x) = x^5 \cdot \sqrt{4x+7}$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{x^4\left( 22x+35 \right)}{\sqrt{4x+7}}$
e) $\displaystyle f(x) = \left( x^2+1 \right) \cdot \sin x$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = 2x \sin x +\left( x^2+1 \right) \cdot \cos x$

Derivada del quocient de dues funcions

La regla de quocient d'un producte de funcions també es pot obtenir fent servir la derivació logarítmica.

$\displaystyle \begin{align} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \quad &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln \frac{u(x)}{v(x)} \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln u(x) - \ln v(x) \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{u'(x)}{v(x)} - \frac{u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} \\[6pt] \end{align}$

$\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} }$

Exemple

La derivada de la funció $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2-5}$ és:

$\displaystyle \begin{align} f'(x) &= \frac{2x \cdot \left(x^2-5\right) - x^2 \cdot 2x}{\left(x^2-5\right)^2} \\[6pt] &= \frac{\cancel{2x^3} - 10x - \cancel{2x^3}}{\left(x^2-5\right)^2} \\[6pt] &= \frac{-10x}{\left(x^2-5\right)^2} \end{align}$

Exercici 27

Calcula la derivada de les següents funcions:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{x}{\sin x}$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{x^2}$
b) $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{\left( x+1 \right)^2}$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{\left(x+3\right)x^2}{\left(x+1\right)^3}$
c) $\displaystyle f(x) = \frac{\cos x}{x^3}$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{-x\sin x - 3\cos x}{x^4}$
d) $\displaystyle f(x) = \ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{1-x^2}$
e) $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$	Solució:	$\displaystyle f'(x) = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}$

Càlcul de funcions derivades V

Derivació logarítmica

Derivada de la funció potencial $\boldsymbol{f(x)=x^p}$ , amb $\boldsymbol{p\in\mathbb{R}}$

Derivada del producte de dues funcions

Derivada del quocient de dues funcions

Càlcul de funcions derivades V

Derivació logarítmica

Derivada de la funció potencial f(x)=xp\boldsymbol{f(x)=x^p}, amb p∈R\boldsymbol{p\in\mathbb{R}}

Derivada del producte de dues funcions

Derivada del quocient de dues funcions

Derivada de la funció potencial $\boldsymbol{f(x)=x^p}$ , amb $\boldsymbol{p\in\mathbb{R}}$