Càlcul de funcions derivades V

Derivació logarítmica

S'anomena derivació logarítmica a un procés que fa servir propietats dels logaritmes per calcular derivades d'una forma senzilla.

Els passos del procés de derivació logarítmica bàsicament són els següents:

1. S'apliquen logaritmes neperians als dos membres de la igualtat que defineix la funció que volem derivar.
2. S'aplica alguna propietat dels logaritmes.
3. Es deriven els dos membres de la igualtat.
4. S'aïlla la derivada \(f'(x)\).
5. Es substitueix \(f(x)\) pel seu valor i es simplifica l'expressió obtinguda.

Derivada de la funció potencial \(\boldsymbol{f(x)=x^p}\), amb \(\boldsymbol{p\in\mathbb{R}}\)

Per calcular la derivada de la funció potencial es fa servir el mètode de derivació logarítmica.

\( \displaystyle \begin{align} f(x)=x^p \quad &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln x^p \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = p \cdot \ln x \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{p}{x} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \frac{p}{x} \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = x^p \cdot \frac{p}{x} \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = p \cdot x^{p-1} \\[6pt] \end{align} \)

Aquesta regla de derivació de la funció potencial va ser deduïda en un apartat anterior, però només era vàlida per a valors naturals de l'exponent, ja que feia servir nombres combinatoris.

\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=x^p \quad\Rightarrow\quad f'(x)= p \cdot x^{p-1} \quad ,\forall p \in \mathbb{R}}\)

\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\left[u(x)\right]^p \quad\Rightarrow\quad f'(x)= p \cdot \left[u(x)\right]^{p-1} \cdot u'(x) \quad ,\forall p \in \mathbb{R}}\)

Derivada del producte de dues funcions

La regla de derivació d'un producte de funcions, anomenada també Llei de Leibniz, es pot obtenir fent servir la derivació logarítmica.

\( \displaystyle \begin{align} f(x)=u(x) \cdot v(x) \quad &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln \left[ u(x) \cdot v(x) \right] \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln u(x) + \ln v(x) \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\[6pt] \end{align} \)

\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) }\)

La regla del producte es pot generalitzar a productes de més de dos factors. Per exemple per a tres factors es té:

\(\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x) }\)

Derivada del quocient de dues funcions

La regla de quocient d'un producte de funcions també es pot obtenir fent servir la derivació logarítmica.

\( \displaystyle \begin{align} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \quad &\overset{1.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln \frac{u(x)}{v(x)} \\[6pt] &\overset{2.}{\Rightarrow}\quad \ln f(x) = \ln u(x) - \ln v(x) \\[6pt] &\overset{3.}{\Rightarrow}\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \\[6pt] &\overset{4.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = f(x) \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\overset{5.}{\Rightarrow}\quad f'(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \cdot \left[ \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \right] \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{u'(x)}{v(x)} - \frac{u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} \\[6pt] &\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} \\[6pt] \end{align} \)

\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} }\)