Sigui \(f(x)=u(v(x)) \) una funció composta de dues funcions \(u(x)\) i \(v(x)\) derivables. La derivada d'aquesta funció és:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[8pt] &= \lim_{h \to{0}}{ \left[ \frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{v(x+h)-v(x)} \cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h} \right]} \\[8pt] &= \lim_{h \to{0}}{ \frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{v(x+h)-v(x)}} \cdot \lim_{h \to{0}}{\frac{v(x+h)-v(x)}{h} } \\[8pt] &= u'(v(x)) \cdot v'(x) \\[8pt] \end{align} \)
En l'últim pas s'ha fet servir que \(v(x)\) és una funció derivable, per tant és contínua i verifica:
\( \displaystyle \lim_{h \to{0}}{v(x+h)}=v(x) \)
Això implica que:
\( \displaystyle \lim_{h \to{0}}{v(x+h)-v(x)}=0 \),
i per tant:
\( \displaystyle \lim_{h \to{0}}{ \frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{v(x+h)-v(x)}} = u'(v(x)) \)
Aquesta fórmula que permet calcular la derivada de la composició de dues funcions es coneix amb el nom de regla de la cadena.
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(v(x)) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)} \)
Exemple
La derivada de la funció \(f(x)=\left( x^2+2 \right)^3\) és:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &=3 \left( x^2+2 \right)^2 \cdot 2x \\[6pt] &=6x \cdot \left( x^2+2 \right)^2 \\[6pt] &=6x \cdot \left( x^4+4x^2+4 \right) \\[6pt] &=6x^5+24x^3+24x \end{align} \)
En aquest cas la derivada també es podia calcular expandint prèviament la funció \(f(x)\):
\( \displaystyle \begin{align} f(x) &=\left( x^2+2 \right)^3 \\[6pt] &=1 \cdot (x^2)^3 \cdot 2^0 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 2^1 + 3 \cdot (x^2)^1 \cdot 2^2 + 1 \cdot (x^2)^0 \cdot 2^3 \\[6pt] &=x^6+6x^4+12x^2+8 \end{align} \)
I derivant a continuació el polinomi resultant:
\( f'(x)=6x^5+24x^3+24x \)
Exemple
La derivada de la funció \(f(x)=\sin \left( 3x^2-x \right)\) és:
\( f'(x) = \cos \left( 3x^2-x \right) \cdot \left( 6x-1 \right) \)
Exemple
La derivada de la funció \(f(x)=\sqrt{x^2+6x}\) és:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x^2+6x}} \cdot \left( 2x+6 \right) \\[6pt] &= \frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x}} \end{align} \)
Exercici 24
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2} \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x)=\sin x^2 \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x)=\sin^2 x \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{x} \) | Solució: | |
| e) \(\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{x} \) | Solució: | |
| f) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2+x} \) | Solució: |
Aquesta regla també es pot fer servir quan la funció a derivar és una composició de tres o més funcions.
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(v(w(x))) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)} \)
Exemple
La derivada de la funció \(f(x)=\ln\left(\cos\left(5x^2\right)\right) \) és:
\( \displaystyle \begin{align}localhost f'(x) &= \frac{1}{\cos\left(5x^2\right)} \cdot \left(-\sin\left(5x^2\right)\right) \cdot 10x \\[6pt] &= -10x \cdot \tan\left(5x^2\right) \end{align} \)
Exercici 25
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x)=\cos^3 (2x+1) \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x)=\left( 1+\cos^2 x \right)^2 \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x)=\ln{\sqrt{x^2-1}} \) | Solució: |
Es pot combinar la regla de la cadena amb les regles de derivació ja conegudes:
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\left[u(x)\right]^n \quad\Rightarrow\quad f'(x)= n \cdot \left[u(x)\right]^{n-1}\cdot u'(x)} \)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\sqrt{u(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\frac{1}{u(x)} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\frac{u'(x)}{\left[u(x)\right]^2} }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\sin\left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\cos\left[u(x)\right]\cdot u'(x) }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\cos\left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-\sin\left[u(x)\right]\cdot u'(x) }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\ln\left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)} }\)
\(\displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=\log_a\left[u(x)\right] \quad\Rightarrow\quad f'(x)= \frac{u'(x)}{\ln a \cdot u(x)} }\)