Per calcular la derivada de la funció, \(f(x) = \sin x\), es fa servir, per una banda, la identitat trigonomètrica de la diferència de sinus:
\( \displaystyle \sin A - \sin B = 2 \cdot \cos \frac{A+B}{2} \cdot \sin \frac{A-B}{2} \)
i, per altra banda, el següent resultat:
\( \displaystyle \lim_{\alpha \to{0}}{\frac{\sin \alpha}{\alpha}} = 1 \)
Aquest resultat és conseqüència de que quan un angle tendeix a \(0\) la longitud d'arc en una circumferència goniomètrica, que coincideix amb la mesura de l'angle en radians, s'aproxima cada vegada més al valor de la projecció vertical, que coincideix amb el sinus de l'angle.
\(\alpha=\)
Amb aquests resultats i amb la definició de funció derivada es pot trobar l'expressio de la derivada de la funció \(f(x) = \sin x\).
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{ 2 \cdot \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{h}{2}\right) }{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[\cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right]} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)} \cdot \lim_{h \to{0}}{\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}} \\[6pt] &= \cos x \cdot 1 \\[6pt] &= \cos x \end{align} \)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = \sin x \quad\Rightarrow\quad f'(x) = \cos x} \)
Per calcular la derivada de la funció, \(f(x) = \cos x\), es fa servir, per una banda, la identitat trigonomètrica de la diferència de cosinus:
\( \displaystyle \cos A - \cos B = -2 \cdot \sin \frac{A+B}{2} \cdot \sin \frac{A-B}{2} \)
i, per altra banda, el resultat de l'apartat anterior:
\( \displaystyle \lim_{\alpha \to{0}}{\frac{\sin \alpha}{\alpha}} = 1 \)
Amb aquests resultats la derivada de la funció \(f(x) = \cos x\) es troba de manera molt similar a la de \(f(x) = \sin x\).
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{ -2 \cdot \sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{h}{2}\right) }{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[-\sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right]} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[-\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\right]} \cdot \lim_{h \to{0}}{\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}} \\[6pt] &= -\sin x \cdot 1 \\[6pt] &= -\sin x \end{align} \)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = \cos x \quad\Rightarrow\quad f'(x) = -\sin x} \)
Per calcular la derivada de la funció, \(f(x) = \ln x\), es fan servir, per una banda, les següents propietats dels logaritmes:
\( \displaystyle \begin{align} \log_a b - \log_a c &= \log_a \frac{b}{c} \\[6pt] k \cdot \log_a b &= \log_a b^k \\[6pt] \log_a a^b &= b \end{align} \)
i, per altra banda, la definició del nombre \(\mathrm{e}\):
\( \displaystyle \lim_{u(x)\to{0}}{ \left[ 1+u(x) \right]^{\frac{1}{u(x)}} } = \mathrm{e} \)
Amb aquests resultats la derivada de la funció \(f(x) = \ln x\) es troba de la següent manera:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}} \\[6pt] &= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left[ \frac 1 h \left[ \ln{\left(x+h\right) - \ln{x} }\right] \right]} \\[6pt] &= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left[ \frac 1 h \ln{\left( \frac{x+h}{x} \right)} \right]} \\[6pt] &= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left[ \ln{\left( \frac{x+h}{x} \right)^{\frac 1 h }} \right]} \\[6pt] &= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left[ \ln{\left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac x h \frac 1 x }} \right]} \\[6pt] &= \displaystyle\ln{\left[ \lim_{h \to{0}}{\left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac x h \frac 1 x }} \right]} \\[6pt] &= \displaystyle\ln {e^{\frac{1}{x}}} \\[6pt] &= \displaystyle\frac{1}{x} \\[6pt] \end{align} \)
\( \displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = \ln x \quad\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{1}{x}} \)
Per calcular la derivada de la funció, \(f(x) = \log_a x\), es fa servir la fórmula de canvi de base dels logaritmes:
\( \displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Aquesta fórmula permet expressar la funció \(f(x)=\log_a x\) com producte d'una constant per una funció de derivada coneguda:
\( \displaystyle f(x)=\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x \)
Per tant:
\( \displaystyle f'(x) = \displaystyle\frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} \)
\( \displaystyle\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = \log_a x \quad\Rightarrow\quad f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}} \)
Exercici 23
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x)=3\sin x + 4\cos x \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin^2 x-1}{\cos x} + \cos x \cdot \tan x\) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x)=\ln x + \log x + \log_2 x \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle f(x)=\ln x^2 - \log \sqrt[3]{x} + \log e \) | Solució: |