MATES 2BATX. Derivades.

Si una funció es pot escriure com el producte d'una constant per una altra funció,

$f(x) = k \cdot g(x)$ , aleshores:

$\displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{k \cdot g(x+h)-k \cdot g(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[k \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right]} \\[6pt] &= k \cdot \lim_{h \to{0}}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \\[6pt] &= k \cdot g'(x) \\ \end{align}$

$\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = k \cdot g(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = k \cdot g'(x)}$

Derivada d'una suma de funcions

Si una funció es pot escriure com a suma de dues funcions,

$f(x) = u(x)+v(x)$ , aleshores:

$\displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{u(x+h)+v(x+h)-u(x)-v(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[ \frac{u(x+h)-u(x)}{h} + \frac{v(x+h)-v(x)}{h} \right]} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}} + \lim_{h \to{0}}{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}} \\[6pt] &= u'(x) + v'(x)\\ \end{align}$

$\bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(x)+v(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x)+v'(x)}$

$f(x) = f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = f_1'(x) \pm f_2'(x) \pm \ldots \pm f_n'(x)$

Exercici 17

Calcula la derivada de les següents funcions polinòmiques:

a) $\displaystyle f(x)=5x^3+2x^2-8x-9$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=15x^2+4x-8$
b) $\displaystyle f(x)=\frac{7x^4}{4}+\frac{5x^3}{6}-\frac{8x}{5}+\frac{1}{7}$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=7x^3+\frac{5x^2}{2}-\frac{8}{5}$
c) $\displaystyle f(x)=(x+2)\cdot(x-3)$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=2x-1$
d) $\displaystyle f(x)=(x-5)^2$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=2x-10$

Exercici 18

Calcula la derivada de les següents funcions:

a) $\displaystyle f(x)=2x+5\sqrt{x}-\frac{3}{x^2}$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=2+\frac{5}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{x^3}$
b) $\displaystyle f(x)=-3x^2+4\sqrt[3]{x^4}+\frac{5}{x^5}$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=-6x+\frac{16\sqrt[3]{x}}{3}-\frac{25}{x^6}$
c) $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2}{\sqrt{x}}+\sqrt[3]{x^2}\cdot\sqrt{x^3}$	Solució:	$\displaystyle f'(x)=3\sqrt{x}+\frac{13\cdot\sqrt[6]{x^7}}{6}$

Exercici 19

Donada la funció $f(x)=x^3-3x+1$ ,

calcula la seva derivada,
Solució:

$f'(x)=3x^2-3$
indica per a quins valors de $x$ s'anul·la la funció derivada
Solució:

$x=\pm1$
i afegeix a la següent gràfica de $f(x)$ la gràfica de la $f'(x)$ .
Solució:
0,0
$1$
$1$
$f(x)$
$f'(x)$

Exercici 20

Demostra que la derivada d'una funció polinòmica de segon grau $f(x)=ax^2+bx+c$ s'anul·la per un, i només per un, valor de $x$ , que correspon a l'abscissa del vèrtex de la paràbola associada a la funció.

Solució:

$\displaystyle \begin{align} f'(x)=0 \quad &\Leftrightarrow\quad 2ax+b=0 \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad x=-\frac{b}{2a} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad x=x_{\mathrm{v}} \\[6pt] \end{align}$

Exercici 21

Calcula la derivada de la funció $\displaystyle f(x)=\left( x+\sqrt{x} \right)\cdot\left( \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x} \right)$ .

Solució:

$\displaystyle f'(x) = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} + \frac{5}{6\,\sqrt[6]{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

Exercici 22

Un mòbil segueix una trajectòria rectilínia descrita per l'expressió $x(t)=80t−2t^2$ , on $x$ és la distància a un punt de referència expressada en metres i $t$ està expressat en segons.

Troba l'expressió algebraica que permet calcular la velocitat d'aquest mòbil en qualsevol instant $t$ .
Solució:

$v(t)=\dot{x}(t)=80-4t$
Indica a quina distància del punt de referència es troba quan canvia el sentit del moviment.
Solució:

$\begin{align} v(t)=0 \quad&\Rightarrow\quad 80-4t=0 \\[6pt]&\Rightarrow\quad t=20\mathrm{\,s} \\[6pt]&\Rightarrow\quad x=800\mathrm{\,m}\end{align}$

Càlcul de funcions derivades II

Derivada del producte d'una constant per una funció

Derivada d'una suma de funcions