Si una funció es pot escriure com el producte d'una constant per una altra funció, \(f(x) = k \cdot g(x)\), aleshores:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{k \cdot g(x+h)-k \cdot g(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[k \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right]} \\[6pt] &= k \cdot \lim_{h \to{0}}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \\[6pt] &= k \cdot g'(x) \\ \end{align} \)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = k \cdot g(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = k \cdot g'(x)} \)
Si una funció es pot escriure com a suma de dues funcions, \(f(x) = u(x)+v(x)\), aleshores:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{u(x+h)+v(x+h)-u(x)-v(x)}{h}} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\left[ \frac{u(x+h)-u(x)}{h} + \frac{v(x+h)-v(x)}{h} \right]} \\[6pt] &= \lim_{h \to{0}}{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}} + \lim_{h \to{0}}{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}} \\[6pt] &= u'(x) + v'(x)\\ \end{align} \)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x) = u(x)+v(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x)+v'(x)} \)
Aquesta regla també és vàlida si en lloc d'una suma es té una resta.
\( f(x) = u(x) \pm v(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = u'(x) \pm v'(x) \)
I també és vàlida en cas que la suma sigui de més de dues funcions.
\( f(x) = f_1(x) \pm f_2(x) \pm \ldots \pm f_n(x) \quad\Rightarrow\quad f'(x) = f_1'(x) \pm f_2'(x) \pm \ldots \pm f_n'(x) \)
Exercici 17
Calcula la derivada de les següents funcions polinòmiques:
| a) \(\displaystyle f(x)=5x^3+2x^2-8x-9 \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x)=\frac{7x^4}{4}+\frac{5x^3}{6}-\frac{8x}{5}+\frac{1}{7} \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x)=(x+2)\cdot(x-3) \) | Solució: | |
| d) \(\displaystyle f(x)=(x-5)^2 \) | Solució: |
Exercici 18
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x)=2x+5\sqrt{x}-\frac{3}{x^2} \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x)=-3x^2+4\sqrt[3]{x^4}+\frac{5}{x^5} \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^2}{\sqrt{x}}+\sqrt[3]{x^2}\cdot\sqrt{x^3} \) | Solució: |
Exercici 19
Donada la funció \(f(x)=x^3-3x+1\),
Exercici 20
Demostra que la derivada d'una funció polinòmica de segon grau \(f(x)=ax^2+bx+c\) s'anul·la per un, i només per un, valor de \(x\), que correspon a l'abscissa del vèrtex de la paràbola associada a la funció.
Solució:Exercici 21
Calcula la derivada de la funció \(\displaystyle f(x)=\left( x+\sqrt{x} \right)\cdot\left( \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x} \right)\).
Solució:Exercici 22
Un mòbil segueix una trajectòria rectilínia descrita per l'expressió \(x(t)=80t−2t^2\), on \(x\) és la distància a un punt de referència expressada en metres i \(t\) està expressat en segons.