Càlcul de funcions derivades I
Derivada de la funció constant \(\boldsymbol{f(x)=k}\), amb \(\boldsymbol{k\in\mathbb{R}}\)
Sigui la funció \(f(x)=k\), amb \(k \in \mathbb{R}\). La seva derivada és:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{k-k}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{0}{h}} \\[6pt]
&= 0 \\
\end{align}
\)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=k \quad\Rightarrow\quad f'(x)= 0} \)
La representació gràfica d'una funció constant és una línia recta horitzontal. Per això la seva derivada és igual a \(0\) en tots els punts.
Derivada de la funció potencial \(\boldsymbol{f(x)=x^n}\), amb \(\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}\)
El cas més senzill és la funció \(f(x)=x\), amb \(n=1\). La seva derivada és:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{x}+h - \cancel{x}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}}} \\[6pt]
&= 1 \\[6pt]
\end{align}
\)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=x \quad\Rightarrow\quad f'(x)= 1} \)
La representació gràfica de la funció \(f(x)=x\) és una línia recta de pendent 1. Per això la seva derivada és igual a \(1\) en tots els punts.
En el cas \(n=2\) la funció és \(f(x)=x^2\) i la derivada:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{(x+h)^2-x^2}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{x^2}+2xh+h^2 - \cancel{x^2}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{h}(2x+h)}{\cancel{h}}} \\[6pt]
&= 2x \\[6pt]
\end{align}
\)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=x^2 \quad\Rightarrow\quad f'(x)= 2x} \)
En el cas \(n=3\) la funció és \(f(x)=x^3\) i la derivada:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{(x+h)^3-x^3}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{x^3}+3x^2h+3xh^2+h^3 - \cancel{x^3}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{h}(3x^2+3xh+h^3)}{\cancel{h}}} \\[6pt]
&= 3x^2 \\[6pt]
\end{align}
\)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=x^3 \quad\Rightarrow\quad f'(x)= 3x^2} \)
Per demostrar el cas general, amb qualsevol valor de \(n\in\mathbb{N}\), es fa servir el binomi de Newton i els coeficients binomials.
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\left( x+h \right) ^n - x^n }{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle{\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+ \ ... \ +\binom{n}{n}h^n - x^n}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle{\cancel{x^n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+ \ ... \ +h^n - \cancel{x^n}}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle{\cancel{h} \left( nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+ O(h^{2}) \right)}}{\cancel{h}}} \\[6pt]
&= nx^{n-1} \\[6pt]
\end{align}
\)
\( \bbox[15px,border:1px solid]{f(x)=x^n \quad\Rightarrow\quad f'(x)= n \cdot x^{n-1} \quad ,\forall n \in \mathbb{N} } \)
Exercici 12
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(f(x)=x^6\) |
Solució: |
\( f'(x)=6x^5 \) |
| b) \(f(x)=x^{10}\) |
Solució: |
\( f'(x)=10x^9 \) |
| c) \(f(x)=3^7\) |
Solució: |
\( f'(x)=0 \) |
Exercici 13
Fent servir la definició calcula la derivada de les següents funcions:
-
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Solució:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{ \sqrt{x+h} - \sqrt{x} }{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{x}+h-\cancel{x}}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}} \\[6pt]
&= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align}
\)
-
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\)
Solució:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle\frac{\cancel{x}-\cancel{x}-h}{x(x+h)}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{-\cancel{h}}{x(x+h)\cancel{h}}} \\[6pt]
&= -\frac{1}{x^2}
\end{align}
\)
-
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2}\)
Solució:
\(
\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x^2(x+h)^2}-\frac{(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\displaystyle\frac{\cancel{x^2}-(\cancel{x^2}+2xh+h^2)}{x^2(x+h)^2}}{h}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{-2xh-h^2}{hx^2(x+h)^2}} \\[6pt]
&= \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\frac{\cancel{h}(-2x-h)}{\cancel{h}x^2(x+h)^2}} \\[6pt]
&= -\frac{2}{x^3}
\end{align}
\)
Exercici 14
Les funcions de l'exercici anterior es poden escriure com a funcions potencials \(f(x)=x^k\) amb un exponent no natural. Comprova si amb la regla de derivació de les funcions potencials arribem al mateix resultat.
-
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Solució:
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
-
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)
Solució:
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
-
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}\)
Solució:
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2} \quad\Rightarrow\quad f'(x)=-2 \cdot x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)
Exercici 15
En quins punts són decreixents les funcions de l'exercici anterior
-
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Solució:
La derivada és \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) i és positiva en tots els punts del seu domini. Per tant la funció \(f(x)=\sqrt{x}\) no és decreixent en cap punt.
-
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)
Solució:
La derivada és \(\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2}\) i és negativa en tots els punts del seu domini. Per tant la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\) és decreixent en tots els punts en què està definida.
-
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}\)
Solució:
La derivada és \(\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^3}\) i és negativa quan \(x \gt 0\). Per tant la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}\) és decreixent quan \(x\in\left(0,+\infty\right)\).
Exercici 16
Calcula la derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^4}\) |
Solució: |
\(\displaystyle f'(x)=\frac{4\sqrt[3]{x}}{3} \) |
| b) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^4}\) |
Solució: |
\(\displaystyle f'(x)=-\frac{4}{x^5} \) |
| c) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}\) |
Solució: |
\(\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^7}} \) |