Una funció és derivable en un interval obert \(\left(a,b\right)\) si para cadascun dels seus punts existeix la derivada. És a dir:
\(f \; \mathrm{derivable \; a} \; (a,b) \quad\Leftrightarrow\quad \exists f'(x), \forall x \in (a,b)\)
Una funció és derivable en un interval tancat \(\left[a,b\right]\) si para cadascun dels seus punts interiors existeix la derivada i a més a més existeix la derivada en \(a\) per la dreta i la de \(b\) per l'esquerra. És a dir:
\( f \; \mathrm{derivable \; a} \; \left[a,b\right] \quad\Leftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} \exists f'(x), \forall x \in (a,b) \\ \exists f'(a^+) \\ \exists f'(b^-) \end{array}\right. \)
Exemple
La funció:
\( \displaystyle f(x)= \left\lbrace\begin{array}{lll} 1 & \mathrm{si} & x \lt -1 \\[6pt] x^2-2 & \mathrm{si} & -1 \lt x \lt 1 \\[6pt] 3 & \mathrm{si} & x \ge 1 \\ \end{array}\right. \)
té la següent representació gràfica:
i és una funció derivable als intervals \(\left(-\infty,-1\right)\), \(\left(-1,1\right)\) i \(\left[1,+\infty\right)\).
Compte! La funció és derivable als intervals \(\left(-1,1\right)\) i \(\left[1,+\infty\right)\), però no és derivable a l'interval \(\left(-1,+\infty\right)\) degut a que no és derivable a \(x=1\).
Anomenem funció derivada de \(f(x)\) a una altra funció \(f'(x)\) que fa correspondre a cada punt d'abscissa \(x\in\mathrm{Dom}f\) el valor de la derivada de \(f(x)\) en aquest punt.
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
Com que no sempre es pot calcular la derivada tot i que la funció estigui definida, el domini de la funció derivada pot ser més petit que el de la funció.
\(\mathrm{Dom} f' \subseteq \mathrm{Dom} f\)
Exemple
Per calcular la derivada de la funció \(f(x)=x^3\) fem:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{(x+h)^3-x^3}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{h\to0}{\frac{\cancel{h}(3x^2+3xh+h^2)}{\cancel{h}}} \\[6pt] &=3x^2 \end{align} \)
En aquest cas \(f'(x)=3x^2\) i per tant \(\mathrm{Dom} f' = \mathrm{Dom} f = \mathbb{R}\)
Exemple
Volem calcular la derivada de la funció \(f(x)=\sqrt{6x}\), de domini \(\mathrm{Dom} f = \left[0,+\infty\right) \)
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{\sqrt{6(x+h)}-\sqrt{6x}}{h}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{h\to0}{\left[\frac{\sqrt{6x+6h}-\sqrt{6x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{6x+6h}+\sqrt{6x}}{\sqrt{6x+6h}+\sqrt{6x}}\right]} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{6x+6h-6x}{h(\sqrt{6x+6h}+\sqrt{6x})}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{h\to0}{\frac{6\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{6x+6h}+\sqrt{6x})}} \\[6pt] &=\frac{6}{\sqrt{6x}+\sqrt{6x}} \\[6pt] &=\frac{6}{2\sqrt{6x}} \\[6pt] &=\frac{3}{\sqrt{6x}} \\[6pt] \end{align} \)
La derivada és \(\displaystyle f'(x)=\frac{3}{\sqrt{6x}} \) i el seu domini \(\mathrm{Dom} f' = \left(0,+\infty\right) \). Per tant:
\(\mathrm{Dom} f' \subset \mathrm{Dom} f\)
Exemple
Volem calcular la derivada de la funció \(f(x)=x^2+3x \) en els punts d'abscisses \(x=1\), \(x=2\), \(x=3\) i \(x=4\). Calculem primer la funció \(f'(x)\):
\( \displaystyle \begin{align} f'(x) &=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{\left[(x+h)^2+3(x+h)\right]-\left[x^2+3x\right]}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{x^2+2xh+h^2+3x+3h-x^2-3x}{h}} \\[6pt] &=\lim_{h\to0}{\frac{2xh+h^2+3h}{h}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{h\to0}{\frac{\cancel{h}(2x+h+3)}{\cancel{h}}} \\[6pt] &=2x+3 \end{align} \)
I ara substituïm la variable \(x\) pels quatre valors a la funció derivada \( f'(x)=2x+3 \)
\(f'(1)=5 \quad\quad\quad f'(2)=7 \quad\quad\quad f'(3)=9 \quad\quad\quad f'(4)=11\)
Exercici 9
Calcula la derivada de la funció \(f(x)=x^2-2x-3\). Representa gràficament \(f(x)\) i \(f'(x)\).
Solució:Exercici 10
Calcula la derivada de la funció \(f(x)=-2x+1\). Representa gràficament \(f(x)\) i \(f'(x)\).
Solució:Exercici 11
Sense fer-ne la representació gràfica indica si la funció \(f(x)=x^2-3x+2\) és creixent o decreixent en els punts d'abscissa \(x=1\), \(x=2\) i \(x=3\).
Solució: