Una funció \(f(x)\) és derivable en un punt \(x_0\) si existeix la seva derivada de la funció en aquest punt, és a dir si es pot calcular el següent límit
\(\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\)
i és un nombre real (no infinit). Una primera condició perquè la funció sigui derivable en \(x_0\) és que la funció estigui definida en aquest punt.
\(\exists f'(x_0) \quad\Rightarrow\quad \exists f(x_0)\)
Aquesta condició és necessària, però no suficient. Una funció pot estar definida en un punt però no la seva derivada.
Exemple
La funció \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) no és derivable en \(x=0\) perquè no existeix \(f(0)\).
Donada una funció \(f(x)\) es defineixen la derivada en \(x_0\) per l'esquerra \(f'(x_0^{-})\) i la derivada en \(x_0\) per la dreta \(f'(x_0^{+})\) com:
\( \displaystyle \begin{align} f'(x_0^{-}) &= \lim_{x \to x_0^{-}} {\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \\[6pt] f'(x_0^{+}) &= \lim_{x \to x_0^{+}} {\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \end{align} \)
Perquè existeixi la derivada en un punt aquestes dues derivades laterals han de existir, han de ser nombres reals i han de coincidir.
\( \exists f'(x_0) \quad\Leftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{c} \exists f'(x_0^{-}) \in \mathbb{R} \\ \exists f'(x_0^{+}) \in \mathbb{R} \\ f'(x_0^{-})=f'(x_0^{+}) \end{array}\right. \)
Exemple
Sigui la funció:
\( \displaystyle f(x)= \left\lbrace\begin{array}{lll} x+2 & \mathrm{si} & x \le 1 \\[6pt] x^2-2x+2 & \mathrm{si} & x \gt 1 \\ \end{array}\right. \)
Les derivades laterals per l'esquerra i per la dreta en \(x=1\) són:
| \( \displaystyle \begin{align} f'(1^{-}) &=\lim_{x \to 1^{-}}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 1^{-}}{\frac{x+2-3}{x-1}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 1^{-}}{\frac{x-1}{x-1}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}1 \\[6pt] \end{align} \) | \( \displaystyle \begin{align} f'(1^{+}) &=\lim_{x \to 1^{+}}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 1^{+}}{\frac{x^2-2x+2-3}{x-1}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 1^{+}}{\frac{x^2-2x-1}{x-1}} \\[6pt] &=\frac{-2}{0^{+}} \\[6pt] &=-\infty \end{align} \) |
Aquest és un exemple d'una funció que no és derivable en un punt. En aquest cas en \(x=1\).
Si una funció és discontínua en un punt, aleshores no es poden calcular totes dues derivades laterals. Per tant, una altra condició perquè la funció sigui derivable en un punt és que la funció sigui contínua en aquest punt.
Aquesta condició ja engloba la de l'apartat anterior, ja que si la funció és contínua en \(x_0\) aleshores existeix \(f(x_0)\). És una condició més restrictiva. Tot i això segueix sent una condició necessària, però no suficient. Existeixen funcions contínues en un punt \(x_0\) que no són derivables.
Exemple
Sigui la funció:
\( \displaystyle f(x)=\left| x \right| = \left\lbrace\begin{array}{rcl} -x & \mathrm{si} & x \lt 0 \\[6pt] x & \mathrm{si} & x \ge 0 \\ \end{array}\right. \)
Les derivades laterals per l'esquerra i per la dreta en \(x=0\) són:
| \( \displaystyle \begin{align} f'(0^{-}) &=\lim_{x \to 0^{-}}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 0^{-}}{\frac{-x-0}{x}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}-1 \\[6pt] \end{align} \) | \( \displaystyle \begin{align} f'(0^{+}) &=\lim_{x \to 0^{+}}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 0^{+}}{\frac{x-0}{x}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}1 \\[6pt] \end{align} \) |
Tot i que aquesta funció és contínua en \(x=0\), no és derivable. Les derivades laterals existeixen, però no són iguals. Direm que la funció presenta un punt angulós en \(x=0\).
Exemple
Sigui la funció:
\(f(x)=\sqrt[5]{x^2}\)
Les derivades laterals per l'esquerra i per la dreta en \(x=0\) són:
| \( \displaystyle \begin{align} f'(0^{-}) &=\lim_{x \to 0^{-}}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 0^{-}}{\frac{\sqrt[5]{x^2}-0}{x}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 0^{-}}{\frac{x^{\frac{2}{5}}}{x}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}-\infty \\[6pt] \end{align} \) | \( \displaystyle \begin{align} f'(0^{+}) &=\lim_{x \to 0^{+}}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 0^{+}}{\frac{\sqrt[5]{x^2}-0}{x}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 0^{+}}{\frac{x^{\frac{2}{5}}}{x}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}+\infty \\[6pt] \end{align} \) |
Aquesta funció és contínua en \(x=0\), però no és derivable. Les derivades laterals són dos infinits de signe oposat. Direm que la funció presenta un punt de retrocés en \(x=0\).
Exemple
Sigui la funció:
\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)
Les derivades laterals per l'esquerra i per la dreta en \(x=0\) són:
Aquesta funció és contínua en \(x=0\), peró no és derivable. Les derivades laterals són dos infinits del mateix signe. Direm que la funció presenta un punt de tangent vertical en \(x=0\).
Resum:
Una funció és derivable en un punt quan és contínua en aquest punt i les seves dues derivades laterals donen el mateix nombre real. És a dir:
\( \exists f'(x_0) \quad\Leftrightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} f(x) \;\mathrm{és}\;\mathrm{contínua}\;\mathrm{a}\;x_0 \\[6pt] f'(x_0^{-})=f'(x_0^{+}) \in \mathbb{R} \end{array}\right. \)
La gràfica d'una funció derivable en un punt és contínua en aquest punt i no presenta punts angulosos, de retrocés, o de tangent vertical.
Exercici 8
És derivable en \(x=1\) la següent funció?
\( \displaystyle f(x)= \left\lbrace\begin{array}{rcl} 4-3x & \mathrm{si} & x \lt 1 \\[6pt] x^2-4x+4 & \mathrm{si} & x \ge 1 \\ \end{array}\right. \)
Solució: