Podem quantificar la variació d'una funció \(f(x)\) en un punt \(x_0\) a partir de la taxa de variació mitjana en l'interval \(\left[x_0,x\right]\) o \(\left[x,x_0\right]\) i fent el límit quan \(x\) tendeix a \(x_0\).
\( \displaystyle \lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)
Aquesta quantitat es denomina derivada de la funció \(f(x)\) en el punt \(x_0\) i es representa per \(f'(x_0)\). Hi ha dues expressions equivalents per calcular aquest límit. Per passar d'una a l'altra s'ha fet servir que \(h=x-x_0\).
|
El càlcul de \(f'(x_0)\), fent servir qualsevol de les dues definicions, sempre porta a una indeterminació del tipus \(\frac{0}{0}\).
La derivada de la funció \(f(x)\) en el punt \(x_0\) coincideix amb el pendent de la recta tangent a la funció en el punt de coordenades \( \Big( x_0 , f(x_0) \Big) \).
\( m = \tan\alpha = f'(x_0) \)
A més:
\( \displaystyle \begin{array}{lcl} f'(x_0) \gt 0 & \Leftrightarrow & f(x) \;\mathsf{creixent}\;\mathsf{a}\; x_0 \\[8pt] f'(x_0) \lt 0 & \Leftrightarrow & f(x) \;\mathsf{decreixent}\;\mathsf{a}\; x_0 \end{array} \)
Exemple
La derivada de la funció \(f(x)=-x^2+2x+4\) en el punt \(x_0=2\) es calcula fent:
\( \displaystyle \begin{align} f'(2) &=\lim_{x \to 2}{\frac{f(x)-f(2)}{x-2}} \\[6pt] &=\lim_{x \to 2}{\frac{-x^2+2x+\bcancel{4}-\bcancel{4}}{x-2}} \\[6pt] &\overset{^{\frac{0}{0}}}{=}\lim_{x \to 2}{\frac{-x \cdot \bcancel{(x-2)}}{\bcancel{x-2}}} \\[6pt] &=-2 \\[6pt] \end{align} \)
Aquest nombre coincideix amb el pendent de la recta tangent a la funció en el punt \(x_0=2\).
Exercici 5
Sigui la funció \( f(x)=x^2+5x-1\). Fent servir la definició calcula la derivada en el punt \(x=-1\).
|
Solució (fent \({x\to-1}\)): |
Solució (fent \({h\to0}\)): |
Exercici 6
Sigui la funció \( f(x)=3x-5\). Fent servir la definició calcula la derivada de la funció en els punt d'abscissa \(x=0\), \(x=2\) i \(x=4\).
Solució:Sigui \(x(t)\) la posició d'un mòbil en funció del temps \(t\). La derivada de \(x(t)\) en un instant \( t_1 \) coincideix amb la velocitat del mòbil en aquest instant.
\( \displaystyle v(t_1)=\dot{x}(t_1)=\lim_{t \to t_1} {\frac{x(t)-x(t_1)}{t-t_1}} \)
En Física per designar la derivada d'una funció quan la variable independent és el temps es fa servir la notació de Newton, que consisteix a col·locar un punt damunt de la variable dependent, que en aquest cas és \(x\).
Exercici 7
Un objecte llançat verticalment cap amunt segueix una trajectòria descrita per l'expressió \(x(t)=100t−5t^2\), on \(x\) està expressat en metres i \(t\) en segons. Calcula la velocitat en els instants \(t=5\,\mathrm{s}\), \(t=10\,\mathrm{s}\) i \(t=15\,\mathrm{s}\).
Solució: