Teorema de Bolzano
Si \(f(x)\) és una funció contínua en un interval tancat \(\left[a,b\right]\) que pren valors de signe oposat en els extrems de l'interval, aleshores existeix com a mínim un valor \(c \in \left(a,b\right)\) tal que \(f(c)=0\)
\( \left.\begin{array}{l} f(x) \textrm{ contínua en } \left[a,b\right] \\ f(a) \cdot f(b) \lt 0 \\ \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \exists \ c \in \left[a,b\right] : f(c)=0 \)
Geomètricament, aquest teorema estableix que si dos punts \((a,f(a))\) i \((b,f(b))\) de la gràfica d'una funció contínua estan situats en diferents costats de l'eix \(OX\), aleshores la gràfica talla a l'eix \(OX\) en algun punt intermedi. És important tenir en compte que el teorema no especifica on es produeix aquesta intersecció i que aquest punt d'intersecció no té perquè ser únic.
Teorema dels valors intermedis (o propietat de Darboux)
Si \(f(x)\) és una funció contínua en un interval tancat \(\left[a,b\right]\) i \(k\) és un nombre real comprès entre \(f(a)\) i \(f(b)\), aleshores existeix com a mínim un valor \(c \in \left(a,b\right)\) tal que \(f(c)=k\)
Exemple
Volem comprovar que la funció \(f(x)=x^5-x-1\) té al menys una arrel real en l'interval \(\left[1,2\right]\). Com que la funció és contínua només hem de calcular la funció als extrems de l'interval i verificar que els signes són oposats.
\( \left.\begin{array}{l} f(x) \textrm{ contínua en } \left[1,2\right] \\ f(1)=-1\lt0 \\ f(2)=29\gt0 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \exists \ c \in \left[1,2\right] : f(c)=0 \)
Ara volem aproximar aquesta arrel fins a les centèsimes. El que farem és agafar valors intermedis i veure a on es produeix un canvi de signe de la funció. Primer concretarem la primera xifra decimal:
\( \displaystyle \begin{array}{c|r} x & f(x)\phantom{00} \\\hline \text{1,0} & \text{-1,00000} \\ \text{1,1} & \text{-0,48949} \\ \text{1,2} & \text{0,28832} \\ \text{1,3} & \text{1,41293} \\ \text{1,4} & \text{2,97824} \\ \text{1,5} & \text{5,09375} \\ \text{1,6} & \text{7,88576} \\ \text{1,7} & \text{11,49857} \\ \text{1,8} & \text{16,09568} \\ \text{1,9} & \text{21,86099} \\ \text{2,0} & \text{29,00000} \end{array} \)
El canvi de signe es produeix entre \(\text{1,1}\) i \(\text{1,2}\). Per tant una primera aproximació per truncament de l'arrel és \(c \approx \text{1,1} \). Ara procedim anàlogament per concretar la segona xifra decimal.
\( \displaystyle \begin{array}{c|r} x & f(x)\phantom{00} \\\hline \text{1,10} & \text{-0,48949} \\ \text{1,11} & \text{-0,42494} \\ \text{1,12} & \text{-0,35766} \\ \text{1,13} & \text{-0,28756} \\ \text{1,14} & \text{-0,21459} \\ \text{1,15} & \text{-0,13864} \\ \text{1,16} & \text{-0,05966} \\ \text{1,17} & \text{0,02245} \\ \text{1,18} & \text{0,10776} \\ \text{1,19} & \text{0,19635} \\ \text{1,20} & \text{0,28832} \end{array} \)
El canvi de signe es produeix entre \(\text{1,16}\) i \(\text{1,17}\). Per tant una aproximació per truncament de l'arrel fins a les centèsimes és \(c \approx \text{1,16} \).
Exercici 52
Comprova que la funció \(f(x)=e^x−3\) té un zero a l'interval \(\left[1,2\right]\) i troba'n una aproximació amb dues xifres decimals correctes.
Solució:Exercici 53
Comprova si la funció \(\displaystyle f(x)=e^x-\frac{10}{x}\) verifica el teorema de Bolzano en els següents intervals:
| a) \(\left[-1,1\right]\) | Solució: | |
| b) \(\left[1,2\right]\) | Solució: | |
| c) \(\left[2,3\right]\) | Solució: |
Teorema de Rolle
Si \(f(x)\) és una funció contínua en un interval tancat \(\left[a,b\right]\), derivable en l'interval \(\left(a,b\right)\) i verifica que \(f(a)=f(b)\), aleshores existeix com a mínim un valor \(c \in \left(a,b\right)\) tal que \(f'(c)=0\).
\( \left.\begin{array}{l} f(x) \textrm{ contínua en } \left[a,b\right] \\ f(x) \textrm{ derivable en } \left(a,b\right) \\ f(a) = f(b) \\ \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \exists \ c \in \left(a,b\right) : f'(c)=0 \)
Geomètricament significa que si una funció contínua i derivable pren el mateix valor en dos punts, aleshores existeix algun punt intermedi amb tangent horitzontal.
Teorema de Lagrange o del valor mitjà
Si \(f(x)\) és una funció contínua en un interval tancat \(\left[a,b\right]\) i derivable en l'interval \(\left(a,b\right)\), aleshores existeix com a mínim un valor \(c \in \left(a,b\right)\) tal que:
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
La interpretació geomètrica és que en una funció contínua i derivable el pendent mitjà en un interval és igual al pendent de la funció en algun punt intermedi.
Exercici 54
En quin punt de l'interval \(\left(0,3\right)\) la funció \(f(x)=x^3-3x^2-x+3\) té una recta tangent paral·lela a la recta secant que passa pels punts d'abscisses \(x=0\) i \(x=3\).
Solució: