Un punt estacionari d'una funció \(f(x)\) és un punt que verifica que \(f'(x)=0\), és a dir, que la seva recta tangent és horitzontal.
Els punts estacionaris poden ser màxims relatius, mínimis relatius i punts d'inflexió.
Sigui \(x=a\) l'abscissa d'un punt estacionari d'una funció \(f(x)\) i que per tant verifica \(f'(a)=0\). Si la segona derivada calculada en \(x=a\) és una quantitat positiva, aleshores la funció en aquest punt serà còncava i la funció presentarà un mínim relatiu.
\(\displaystyle f''(a)\gt0 \quad\Rightarrow\quad f(x) \textrm{ té un mínim relatiu a }\left(a,f(a)\right)\)
I, anàlogament, si la segona derivada calculada en \(x=a\) és una quantitat negativa, aleshores la funció en aquest punt serà convexa i la funció presentarà un màxim relatiu.
\(\displaystyle f''(a)\lt0 \quad\Rightarrow\quad f(x) \textrm{ té un màxim relatiu a }\left(a,f(a)\right)\)
Si la segona derivada calculada en \(x=a\) s'anul·la, aleshores cal calcular la tercera derivada. Si la tercera derivada és diferent de zero en \(x=a\), aleshores la funció presentarà un punt d'inflexió de tangent horitzontal.
\(\displaystyle f''(a)=0 \;\land\;f'''(a)\ne0 \quad\Rightarrow\quad f(x) \textrm{ té un punt d'inflexió de tangent horitzontal a }\left(a,f(a)\right)\)
Si la tercera derivada calculada en \(x=a\) també s'anul·la, aleshores cal continuar derivant. El procés contínua fins a trobar una derivada d'ordre \(n\) que no s'anul·li en \(x=a\). Aleshores:
\(\displaystyle \begin{array}{lll} \textrm{Si } n \textrm{ és parell i } f^{(n)}(a)\lt0 & \Rightarrow & f(x) \textrm{ té un màxim relatiu a }\left(a,f(a)\right)\\ \textrm{Si } n \textrm{ és parell i } f^{(n)}(a)\gt0 & \Rightarrow & f(x) \textrm{ té un mínim relatiu a }\left(a,f(a)\right)\\ \textrm{Si } n \textrm{ és senar i } f^{(n)}(a)\ne0 & \Rightarrow & f(x) \textrm{ té un punt d'inflexió de tangent horitzontal a }\left(a,f(a)\right)\\ \end{array} \)
Exemple
Volem classificar els punts estacionaris de la funció \(f(x)=x^3-3x^2+2\). Primer derivem la funció:
\(f'(x)=3x^2-6x\)
Els punts estacionaris verifiquen \(f'(x)=0\). Per tant:
\(f'(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-6x=0 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.\)
Per classificar-los calculem la segona derivada:
\(f''(x)=6x-6\)
I la avaluem als punts estacionaris:
\( f''(0)=-6\lt0 \quad\Rightarrow\quad\) Màxim a \(\left(0,2\right)\)
\( f''(2)=6\gt0 \quad\Rightarrow\quad\) Mínim a \(\left(2,-2\right)\)
Exemple
Volem classificar els punts estacionaris de la funció \(f(x)=3x^4-8x^3+6x^2\). Primer derivem la funció:
\(f'(x)=12x^3-24x^2+12x\)
Els punts estacionaris verifiquen \(f'(x)=0\). Per tant:
\(f'(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 12x\cdot\left(x^2-2x+1\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array}\right.\)
Per determinar de quin tipus és calculem la segona derivada:
\(f''(x)=36x^2-48x+12\)
I la avaluem als punts estacionaris:
\( f''(0)=12\gt0 \quad\Rightarrow\quad\) Mínim a \(\left(0,0\right)\)
\( f''(1)=0 \quad\Rightarrow\quad\) ?
Per saber que passa a \(x=1\) hem de tornar a derivar
\(f'''(x)=72x-48\)
I avaluar la tercera derivada a \(x=1\)
\(f'''(1)=24\ne0 \quad\Rightarrow\quad\) Punt d'inflexió de tangent horitzontal a \(\left(1,1\right)\)
Exercici 50
Classifica els punts estacionaris de la funció \(f(x)=\mathrm{e}^x\cdot\left(x^2+x+1\right)\).
Solució:Exercici 51
Classifica els punts estacionaris de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+4}\).
Solució:Els punts d'inflexió de tangent no horitzontal verifiquen que \(f'(a)\ne0\) i que \(f''(a)=0\). Aquestes dues condicions no són necessàries, pot ser que es verifiquin i que el punt no sigui d'inflexió. Per determinar-ho cal continuar derivant fins a trobar una derivada d'ordre \(n\) que no s'anul·li en \(x=a\). Aleshores:
\( \displaystyle \begin{array}{lll} \textrm{Si } n \textrm{ és senar i } f^{(n)}(a)\ne0 & \Rightarrow & f(x) \textrm{ té un punt d'inflexió a }\left(a,f(a)\right)\\ \textrm{Si } n \textrm{ és parell i } f^{(n)}(a)\ne0 & \Rightarrow & f(x) \textrm{ no té un punt d'inflexió a }\left(a,f(a)\right)\\ \end{array} \)
Exemple
Volem trobar els punts d'inflexió de la funció \(f(x)=x^3-3x^2+4x-1\). Derivem la funció dues vegades:
\(f'(x)=3x^2-6x+4\)
\(f''(x)=6x-6\)
Si igualem la segona derivada a zero obtenim:
\(f''(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 6x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\)
Calculem ara la tercera derivada:
\(f'''(x)=6\)
Com que \(f'''(1)=6\ne0\), tenim un punt d'inflexió a \(\left(1,1\right)\)
Exemple
Volem trobar els punts d'inflexió de la funció \(f(x)=x^4+2x+1\). Derivem la funció dues vegades:
\(f'(x)=4x^3+2\)
\(f''(x)=12x^2\)
Si igualem la segona derivada a zero obtenim:
\(f''(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 12x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\)
Calculem ara la tercera derivada:
\(f'''(x)=24x\)
Com que \(f'''(0)=0\), hem de calcular ara la quarta derivada:
\(f^{(4)}(x)=24\)
Com que \(f^{(4)}(0)\ne0\), en aquest cas no tenim un punt d'inflexió a \(\left(0,1\right)\)