Estudiar la curvatura d'una funció \(f(x)\) consisteix a determinar en quins intervals és còncava i en quins és convexa.
Una funció és còncava en un interval \(\left(a,b\right)\) quan la recta tangent al gràfic de la funció en qualsevol punt de \(\left(a,b\right)\) està situada per sota d’aquest gràfic a tot l’interval, excepte en el punt de tangència.
Una funció és convexa en un interval \(\left(a,b\right)\) quan la recta tangent al gràfic de la funció en qualsevol punt de \(\left(a,b\right)\) està situada per sobre d’aquest gràfic a tot l’interval, excepte en el punt de tangència.
Es pot saber si una funció és còncava o convexa en un punt \(x_0\) a partir del signe de la segona derivada en \(x_0\), ja que:
\( \displaystyle \begin{array}{lcl} f''(x_0) \gt 0 & \Leftrightarrow & f(x) \;\mathsf{còncava}\;\mathsf{a}\; x_0 \\[8pt] f''(x_0) \lt 0 & \Leftrightarrow & f(x) \;\mathsf{convexa}\;\mathsf{a}\; x_0 \end{array} \)
L'estudi de la curvatura d'una funció és molt semblant a l'estudi de la monotonia. Es fa mitjançant un estudi del signe de la segona derivada. Caldrà determinar prèviament els punts en què pot canviar el signe de la segona derivada, que són els punts en què \(f''(x)=0\), les discontinuïtats i els punts on la segona derivada no existeix.
Donada una funció \(f(x)\), direm que un punt \(x_0\) és un punt d’inflexió quan la funció, en aquest punt, passa de ser còncava a convexa o viceversa. Si, a més, en aquest punt la funció és contínua i derivable, aleshores la recta tangent travessa el gràfic i es verifica que \(f''(x_0)=0\).
Exemple
La funció \(f(x)\) és còncava al punt \(A\), convexa al punt \(B\) i té un punt d'inflexió al punt \(C\).
Exemple
La funció \(f(x)=x^4+x^3-3x^2\) té com a primera i segona derivades les funcions:
\(f'(x)=4x^3+3x^2-6x\)
\(f''(x)=12x^2+6x-6\)
Els punts en què pot canviar el signe de la segona derivada són els punts que verifiquen \(f''(x)=0\).
\(\displaystyle f''(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 12x^2+6x-6=0 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=-1\\x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \left(-\infty,-1\right) & -1 & \left(-1,\frac{1}{2}\right) & \frac{1}{2} & \left(\frac{1}{2},+\infty\right) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \smile & \mathsf{P.I.} & \frown & \mathsf{P.I.} & \smile \end{array}\)
Aquesta funció té un punt d'inflexió a \(\displaystyle \left( -1,-3 \right)\) i un altre a \(\displaystyle \left( \frac{1}{2},-\frac{9}{16} \right)\).
Exercici 48
Estudia la monotonia i la curvatura de la funció:
\(f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccc} x^2 & \mathrm{si} & x\lt1 \\[6pt] -x^2+4x-2 & \mathrm{si} & x\ge1 \end{array}\right.\)
Solució: