Es parla de monotonia per referir-se al creixement o decreixement d'una funció. Estudiar la monotonia d'una funció \(f(x)\) consisteix a determinar en quins intervals és creixent i en quins és decreixent la funció. Per fer aquest estudi s'acostuma a fer servir la primera derivada i estudiar el seu signe.
\( \displaystyle \begin{array}{lcl} f'(x_0) \gt 0 & \Rightarrow & f(x) \;\mathsf{creixent}\;\mathsf{a}\; x_0 \\[8pt] f'(x_0) \lt 0 & \Rightarrow & f(x) \;\mathsf{decreixent}\;\mathsf{a}\; x_0 \end{array} \)
Caldrà determinar prèviament els punts en què pot canviar el signe de la derivada, que són els punts on s'anul·la la derivada, les discontinuïtats i els punts on la derivada no existeix.
Donada una funció real \(f(x)\), un punt \(x_0\) del seu domini es diu que és un màxim local o relatiu si \(f(x_0)\) és major que la resta dels valors de la funció en algun entorn de \(x_0\).
Anàlogament, un punt \(x_0\) del seu domini es diu que és un mínim local o relatiu si \(f(x_0)\) és menor que la resta dels valors de la funció en algun entorn de \(x_0\).
Si en el punt \(x_0\) la funció és contínua i passa de ser creixent a ser decreixent, aleshores és un màxim local o relatiu. I anàlogament, si en el punt \(x_0\) la funció és contínua i passa de ser decreixent a creixent, aleshores és un mínim local o relatiu.
Exemple
La funció \(f(x)=x^3+x\) té com a primera derivada la funció \(f'(x)=3x^2+1\). Com que la primera derivada sempre és positiva \(f(x)\) serà una funció estrictament creixent.
\(f'(x) = 3x^2+1 \gt 0 \;\; \forall x \in \mathbb{R} \quad\Rightarrow\quad f(x) \mathrm{\;creixent\;} \forall x \in \mathbb{R}\)
Exemple
La funció \(f(x)=x^3-3x\) té com a primera derivada la funció \(f'(x)=3x^2-3\). El signe de la primera derivada depèn del valor de \(x\). Els punts en què pot canviar el signe de la derivada són els punts que verifiquen \(f'(x)=0\).
\( f'(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1\)
\( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \mathrm{Màx.} & \searrow & \mathrm{Mín.} & \nearrow \end{array}\)
Aquesta funció té un màxim local al punt \((-1,2)\) i un mínim local al punt \((1,-2)\).
Exemple
La funció \(\displaystyle f(x)=\frac{1-x}{x^2}\) té com a primera derivada la funció \(\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^3}\). El signe de la primera derivada depèn del valor de \(x\). La derivada pot canviar de signe en la discontinuïtat \(x=0\) i en els punts que verifiquen \(f'(x)=0\).
\( f'(x)=0 \quad\Rightarrow\quad x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2\)
\( \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \nexists & \searrow & \mathrm{Mín.} & \nearrow \end{array}\)
Aquesta funció té un mínim local al punt \(\displaystyle\left( 2,-\frac{1}{4} \right)\).
Exemple
La funció:
\(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccc} 1+x & \mathrm{si} & x\lt1 \\[6pt] 3-x & \mathrm{si} & x\ge1 \end{array}\right.\)
té com a primera derivada la funció:
\(\displaystyle f'(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccc} 1 & \mathrm{si} & x\lt1 \\[6pt] -1 & \mathrm{si} & x\gt1 \end{array}\right.\)
En aquest exemple el signe de la primera derivada varia en el punt en què no està definida, és a dir en \(x=1\).
\( \begin{array}{c|c|c|c} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & \\ f(x) & \nearrow & \mathrm{Màx.} & \searrow \end{array}\)
Aquesta funció té un màxim local al punt \(\displaystyle\left( 1,2 \right)\).
Exercici 44
Estudia la monotonia de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{5x^2+4x}{x^2-1}\).
Solució: