Sigui \(f(x)\) una funció derivable en \(x=a\). La recta tangent a la funció en \(x=a\) és la recta que passa pel punt \(\Big( a,f(a) \Big)\) i que el seu pendent és \(f'(a)\). La seva equació és:
\( \bbox[15px,border:1px solid]{y-f(a) = f'(a) \cdot \left( x-a \right)} \)
Exemple
Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció \(f(x)=x^2+x-1\) en \(x=1\). Primer calculem la derivada:
\(f'(x)=2x+1\)
Ara calculem \(f(1)\) i \(f'(1)\):
\( \displaystyle \begin{array}{l} f(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1\\ f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \end{array} \)
I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.
\(y-1 = 3 \cdot \left( x-1 \right) \quad\Rightarrow\quad \bbox[15px,border:1px solid]{y=3x-2} \)
Exemple
Volem calcular l'equació de la recta tangent a la funció \(f(x)=x^2+2x\) paral·lela a la recta \(y=-2x+1\). Comencem calculant la derivada:
\(f'(x)=2x+2\)
Ara igualem aquesta derivada al pendent de la recta \(m=-2\) per trobar el valor de \(x\).
\(2x+2=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \)
Ara calculem \(f(-2)\). No cal que calculem \(f'(-2)\) perquè és igual al pendent de la recta.
\( f(-2) = (-2)^2 + 2\cdot(-2) = 0 \)
I ja podem escriure l'equació de la recta tangent.
\(y-0 = -2 \cdot \left( x-(-2) \right) \quad\Rightarrow\quad \bbox[15px,border:1px solid]{y=-2x-4} \)
Exercici 37
Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció \(f(x)=x^3-2x\) en el punt d'abscissa \(x=2\).
Solució:Exercici 38
Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció \(f(x)=x^3+3x^2+2x+1\) en els punts d'ordenada \(y=1\).
Solució:Exercici 39
Troba les equacions de les rectes tangents a la gràfica de la funció \(f(x)=x^3-3x^2+x+1\) paral·leles a la recta \(x-y+3=0\).
Solució:Exercici 40
Determina les abscisses dels punts de la gràfica de la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{1-x^2}\) en què la recta tangent té una inclinació de \(45^{\circ}\).
Solució:Sigui \(f(x)\) una funció derivable en \(x=a\). La recta normal a la funció en \(x=a\) és la recta que passa pel punt \(\Big( a,f(a) \Big)\) i que és perpendicular a la recta tangent. El seu pendent és \(\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}\) i la seva equació:
\( \displaystyle \bbox[15px,border:1px solid]{y-f(a) = -\frac{1}{f'(a)} \cdot \left( x-a \right)} \)
Exercici 41
Troba l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció \(f(x)=x^2-2x+1\) que passa pel punt d'abscissa \(x=2\).
Solució: