A partir d'una funció \(f(x)\) i fent servir el procés de derivació s'obté una altra funció \(f'(x)\) que pot ser derivada al seu torn. Aquesta nova funció s'anomena segona derivada de \(f(x)\) i es denota com a \(f''(x)\).
Anàlogament es poden calcular la tercera derivada \(f'''(x)\), la quarta \(f^{(4)}(x)\), la cinquena \(f^{(5)}(x)\), i així successivament.
Exemple
Donada la funció \(f(x)=2x^4+3x^3+6x^2+1\). La seva primera derivada és:
\(f'(x)=8x^3+9x^2+12x\)
La segona és:
\(f''(x)=24x^2+18x+12\)
La tercera i la quarta derivada són:
\(f'''(x)=48x+18\)
\(f^{(4)}(x)=48\)
I en aquest exemple les derivades successives a partir de la cinquena són:
\(f^{(n)}(x)=0 ,\quad\forall\,n \ge 5\)
Exercici 33
Calcula la segona derivada de les següents funcions:
| a) \(\displaystyle f(x) = x^5 \) | Solució: | |
| b) \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^3} \) | Solució: | |
| c) \(\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x^2} \) | Solució: |
Exercici 34
Donada la funció \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+2} \), calcula:
| a) \(f'(x)\) | Solució: | |
| b) \(f''(x)\) | Solució: | |
| c) \(f'''(x)\) | Solució: | |
| d) \(f^{(4)}(x)\) | Solució: |
Exercici 35
Donada la funció \(\displaystyle f(x) = \sin x \), calcula \(f^{(25)}(x)\) i \(f^{(52)}(x)\).
Solució:Exercici 36
Donada la funció \(\displaystyle f(x) = 5^x \), dedueix una expressió general de la derivada enèsima \(f^{(n)}(x)\).
Solució: